ABC予想

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テンプレート:出典の明記 テンプレート:Infobox mathematical statement ABC予想（エービーシーよそう、テンプレート:Lang-en）あるいはオステルレ＝マッサー予想（テンプレート:Lang-en）[1][2]は、1985年にジョゼフ・オステルレとデイヴィッド・マッサーにより提起された数論の予想（未解決問題）である。類似するものに多項式についてのメーソン・ストーサーズの定理がある。

ABC予想は、この予想から数々の興味深い結果が得られることから、非常に有名になった。ABC予想が定理となれば、数論における数多の有名な予想や定理が直ちに導かれる。

テンプレート:仮リンクは、ABC予想を「ディオファントス解析で最も重要な未解決問題」であると述べている[3]。

予想

テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が互いに素であり、かつ テンプレート:Math を満たす自然数の組 テンプレート:Math を abc-triple と呼ぶ。一般に「ABC予想」と呼ばれている未解決問題には、

  1. 不等式 テンプレート:Math を満たす abc-triple が無限に存在するような正の実数 テンプレート:Math は存在しない。
  2. 不等式 テンプレート:Math を満たす abc-triple は存在しない。

という2種類の命題が存在するが、両者に論理的な強弱関係があるわけではない。すなわち、互いに主張の一部が弱められ、一部が強められている。フェルマーの最終定理の証明に使うことができるのは、2番目の命題のみである。以下、1番目の命題について詳しく解説する。

2以上の自然数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar の素因数のうち相異なるものの積（すなわち テンプレート:Mvar を素因数分解したときに現れる各素数の指数をすべて1に置き換え乗算した数。テンプレート:Mvar の根基（テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれる）を与える関数 テンプレート:Math のことを根基関数という。以下にいくつか例を挙げる。

大抵の場合は テンプレート:Math が成り立つが、ABC予想が言及しているのはこれが成り立たない abc-triple のほうである。例えば テンプレート:Math のときに テンプレート:Math となる。

ただし テンプレート:Math が成り立つ abc-triple も無限に存在するテンプレート:Efnテンプレート:Efnため、テンプレート:Math を少しだけ大きくすることで例を有限個にできないかどうかを考える。すなわちABC予想は、次の不等式を満たすような自然数の組 テンプレート:Math は、任意の正の実数 テンプレート:Math に対して高々有限個しか存在しないであろうと予想している：

c>(rad⁡(abc))1+ε.

ABC予想の定式化には、これ以外にもいくつか同値な表現が存在する。

c<K(ε)⋅(rad⁡(abc))1+ε
を満たす正の実数 テンプレート:Math が、任意の正の実数 テンプレート:Math に対して存在する（ テンプレート:Math を テンプレート:Mvar に依らずに取ることは不可能）。
q(a,b,c):=log⁡clog⁡(rad⁡(abc)).
このとき、テンプレート:Math を満たす abc-triple は、任意の正の実数 テンプレート:Math に対して高々有限組しか存在しない。

現在、テンプレート:Math を満たす abc-triple は後述のコンピューティングによる成果の通り3組しか知られていない。

証明

1985年の予想の提起から、数々の数学者によりABC予想の証明が提案されてきた。しかし、2024年現在、数学コミュニティの同意が得られたものはない[4][5]。

望月新一による証明

テンプレート:See also 2012年8月30日、京都大学数理解析研究所教授の望月新一は自身が考案した宇宙際タイヒミュラー理論についての論文を、自身が所属する京都大学数理解析研究所編集の専門誌『Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences』(以下『PRIMS』)に投稿し、初稿が同誌のプレプリントで公開されたテンプレート:R。望月は同理論によって、スピロ予想、ヴォイタ予想およびABC予想の証明に成功したと主張している。

上記の証明に対し、ドイツの数学者ペーター・ショルツェ、ジェイコブ・スティックスは、論文IUTT-IIIの系3.12[6]の証明の反例となるレポートテンプレート:Rにて「提案された〔望月のプレプリントの〕証明には深刻な問題があり、小さな修正で証明戦略を救うことはできず、証明になっていない。」と指摘した（2018年5月公開、2018年9月一部修正）。この指摘に対して望月は、反例において宇宙際タイヒミュラー理論にいくつかの簡略化がおこなわれており、それらの簡略化がことごとく誤りであると主張するレポートテンプレート:Rを公表し反論した（2018年9月発表、2021年3月改訂）。

望月の証明論文は2020年2月に査読を通過しテンプレート:Efn、2021年3月4日、『PRIMS』の特別号電子版に掲載されたテンプレート:R。

上記論文に対し、ショルツェは2021年7月31日にzbMATH（ヨーロッパ数学会）に掲載された書評にて「このシリーズの最初の3つのパートにおいて、読者は残念ながら実質的な数学的内容をほんの少ししか見出さないだろう。第2部と第3部では、肝心の系3.12に、数行以上の証明を見出さないだろう。」テンプレート:Rと否定的にコメントした。一方、テンプレート:仮リンクテンプレート:Efnは2022年4月にMath Reviews誌（アメリカ数学会）に掲載された書評で、宇宙際タイヒミュラー理論の系3.12に関連する論文IUTT-IIIの定理3.11を肯定するコメントを行ったテンプレート:R。

2022年7月、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月らの査読論文が『Kodai Mathematical Journal』（東京工業大学）に掲載されたテンプレート:R（受理は2021年11月）。この論文は、楕円曲線の6等分点を用いて、ディオファントス的不等式中の定数の数値を明示した形（非明示的な「定数」が現れない）に修正したものである。2012年10月のヴェッセリン・ディミトロフテンプレート:Efnとアクシェイ・ヴェンカテシュによる指摘テンプレート:Efnにより、望月の論文で証明される命題は「弱いABC予想」となっていたが、今回の結果により「強いABC予想」およびフェルマーの最終定理の別証明を得たとしている。

得られる結果の例

ABC予想を真だと仮定すると、多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば、予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもあり、部分的証明となるものもある。

ABC予想がもし早期に証明されていたなら、得られる系という意味での影響はもっと大きかったが、ABC予想が成立した場合に解決される予想はまだ残っており、また数論の深い問題と数多くの結び付きがあるので、ABC予想は依然として「重要な問題」であり続けている。具体的には、「有限個に限定される」ことが結論である命題（予想）を証明するのに役立つことが多い。

トゥエ＝ジーゲル＝ロスの定理
代数的数のディオファントス近似に関する定理。
フェルマーの最終定理
ただし指数が テンプレート:Math 以上の場合。この定理自体は、ABC予想とは独立にアンドリュー・ワイルズが既に1995年に証明した。有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 ≥ 4 に対して証明が可能であるテンプレート:Harvテンプレート:Efn。
モーデル予想（ファルティングスの定理）
テンプレート:Harv
テンプレート:仮リンク
ただし有限個の反例を除く テンプレート:Harv。
非テンプレート:仮リンクが無限個存在すること
テンプレート:Harv。
弱い形のテンプレート:仮リンク
平方数と立方数の間隔に関する予想 テンプレート:Harv。
フェルマー＝カタラン予想
フェルマーの最終定理の拡張であり、冪の和である冪を扱う テンプレート:Harv。
ルジャンドル記号を用いて記述したディリクレのL関数 L(s, (-d/.)) がテンプレート:仮リンクを持たないこと
正確には、このためには上で紹介している有理整数を扱うABC予想に加えて、代数体上の一様なABC予想を用いるテンプレート:Harv。
Schinzel–Tijdeman theorem
テンプレート:Mvar を少なくとも3つ以上の単根を持つ多項式とすると、テンプレート:Math2 の中には高々有限個しか累乗数が存在しない、という定理 (1976)[7]。
テンプレート:仮リンクの一般化
テンプレート:Math が持つ解の個数について。ティーデマンの定理は テンプレート:Math の場合を述べている。また、テンプレート:Math が持つ解の個数に関する予想は、ピライ予想 (1931)と呼ばれる。
テンプレート:仮リンクと同値
修正したスピロ予想
これは境界として (rad⁡(abc))65+ε を与える テンプレート:Harv。
一般化されたブロカールの問題
任意の整数 テンプレート:Mvar について、テンプレート:Math が有限個の解しか持たないこと。テンプレート:Harvと同値。

コンピューティング（演算）による成果

2006年、オランダのライデン大学数学研究所は、さらなる abc-triple を発見しようと、Kennislink科学協会と共に分散コンピューティングシステム「ABC@homeプロジェクト」を立ち上げた。たとえ演算によって発見された例または反例が ABC予想を解決することができなくとも、このプロジェクトによって発見される組み合わせが、予想と整数論についての洞察に繋がることが期待されている。

テンプレート:Mvar は上記で定義した abc-triple テンプレート:Math の質 テンプレート:Math である。このとき、テンプレート:Mvar の上限によって、質 テンプレート:Mvar は以下のような分布を取る。

テンプレート:Math となる abc-triple の質 テンプレート:Mvar の分布[8]
cの値 テンプレート:Math テンプレート:Math テンプレート:Math テンプレート:Math テンプレート:Math テンプレート:Math
テンプレート:Math 6 4 4 2 0 0
テンプレート:Math 31 17 14 8 3 1
テンプレート:Math 120 74 50 22 8 3
テンプレート:Math 418 240 152 51 13 6
テンプレート:Math 1,268 667 379 102 29 11
テンプレート:Math 3,499 1,669 856 210 60 17
テンプレート:Math 8,987 3,869 1,801 384 98 25
テンプレート:Math 22,316 8,742 3,693 706 144 34
テンプレート:Math 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51
テンプレート:Math 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64
テンプレート:Math 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74
テンプレート:Math 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84
テンプレート:Math 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98
テンプレート:Math 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112
テンプレート:Math 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126
テンプレート:Math 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143
テンプレート:Math 14,482,059 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160

テンプレート:As of、ABC@homeは2310万個の3つ組を発見しており、当面の目標を 10テンプレート:Sup を超えない テンプレート:Mvar についての全ての abc-triple テンプレート:Math を見つけることとしている[9]。

質の大きいabc-triple[10]
番号 テンプレート:Mvar テンプレート:Mvar テンプレート:Mvar テンプレート:Mvar 発見者
1 1.6299 2 3テンプレート:Sup·109 23テンプレート:Sup Eric Reyssat
2 1.6260 11テンプレート:Sup 3テンプレート:Sup·5テンプレート:Sup·7テンプレート:Sup 2テンプレート:Sup·23 Benne de Weger
3 1.6235 19·1307 7·29テンプレート:Sup·31テンプレート:Sup 2テンプレート:Sup·3テンプレート:Sup·5テンプレート:Sup Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4 1.5808 283 5テンプレート:Sup·13テンプレート:Sup 2テンプレート:Sup·3テンプレート:Sup·17テンプレート:Sup Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5 1.5679 1 2·3テンプレート:Sup 5テンプレート:Sup·7 Benne de Weger

2015年に、ABC@homeプロジェクトは合計2380万組の3つ組を見つけ、その直後にプロジェクトは終了した[11]。

脚注

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注釈

テンプレート:Notelist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

テンプレート:Refbegin

テンプレート:Refend

関連文献

テンプレート:Refbegin

関連項目

外部リンク

テンプレート:Refbegin テンプレート:Refend

テンプレート:Normdaten

  1. ↑ テンプレート:Cite web
  2. ↑ テンプレート:Cite web
  3. ↑ テンプレート:Harvtxt
  4. ↑ NHKスペシャル　数学者は宇宙をつなげるか? abc予想証明をめぐる数奇な物語
  5. ↑ テンプレート:PDF, P23
  6. ↑ Mochizuki's corollary 3.12 in nLab
  7. ↑ テンプレート:PDFlink
  8. ↑ テンプレート:Cite web テンプレート:Nl icon
  9. ↑ テンプレート:Cite web
  10. ↑ テンプレート:Cite web
  11. ↑ テンプレート:Cite web
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