ブロカールの問題

ブロカールの問題 (ブロカールのもんだい、テンプレート:Lang-en-short) とは、

n! + 1 = m^{2}

を満たす整数の組 (n, m) がいくつ存在するか、という数学の問題である。ただし、 n! は階乗を表す。アンリ・ブロカールが1876年・1885年に自身の論文で提示した。1913年にはシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが同じ問題を独立に提示している。

ブラウン数

上式を満たす (n, m) の組はブラウン数 (テンプレート:Lang-en-short) と呼ばれる。ブラウン数の組は

(4,5), (5,11), (7,71)（小さい方の数はテンプレート:OEIS、大きい方の数はテンプレート:OEISを参照）

の3つしか知られていない。ポール・エルデシュは、これ以外の解は存在しないと予想した。テンプレート:Harvtxt は、ABC予想が真だとすれば解の個数が有限であることを示した。テンプレート:Harvtxt は10⁹までの n について計算を行い、その範囲で他の解がないことを確かめた。

テンプレート:HarvtxtはOverholtの結果を一般化し、ABC予想が正しければ、任意の自然数 A に対し

n! + A = k^{2}

を満たす解は有限組しか存在しないこと、A が平方数でないときはABC予想によらず解は有限個しか存在しないこと（実際 A が p を法として平方剰余ではないような最小の素数 p をとると $k^{2} - A$ は p で決して割り切れないので n < p でなければならない）を示した。

指数が2より大きい場合、および $x^{2} + y^{2} = n!$ の形の方程式についてはテンプレート:Harvtxt が既に

x^{m} + y^{m} = n! (\gcd (x, y) = 1, m \geq 2)

は 1+1=2! 以外の解を持たないこと、および

x^{m} - y^{m} = n! (x > y, \gcd (x, y) = 1, m \geq 3)

は m が 4 以外のときには解を持たず m =4 の場合にも有限個の解しか持たないことを示している。また

m! \pm n! = x^{k} (m > n > 0, k \geq 2)

の解は有限個であることも示している。その後テンプレート:Harvtxt が

x^{4} - 1 = n!

は解を持たないことを示している。