フェルマー＝カタラン予想

フェルマー＝カタラン予想（フェルマー＝カタランよそう、テンプレート:Lang-en-short）とはフェルマーの最終定理とカタラン予想を結びつけて提起された数論の予想である。フェルマー＝カタラン予想は「方程式

$a^m+b^n=c^k$

と不等式

$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1$

を同時に満たす自然数の組 テンプレート:Math であって、テンプレート:Mathが互いに素で、(a^m, bⁿ, c^k)の値が異なるものは、有限個しか存在しない」

という命題である。不等式から テンプレート:Math は全て テンプレート:Math 以上で、うち少なくとも2つは テンプレート:Math より大きいものに限られることが分かる。

テンプレート:Math のうち2つが テンプレート:Math である場合は上の不等式を満たさないためフェルマー＝カタラン予想の対象外であるが、実際に解の無限系列が知られている。特にテンプレート:Math の場合は テンプレート:Math はピタゴラス数であって、方程式を満たす組 テンプレート:Math は無数に存在することはよく知られる。

また テンプレート:Math で テンプレート:Math の場合は テンプレート:Math はフェルマーの最終定理の方程式（のうち指数が テンプレート:Math 以上のもの）を満たす自然数解であるが、そのような テンプレート:Math は存在しないことがワイルズによって証明されている。

知られている解と関連する予想

2014年現在、以下の10個の解が知られている。

$1^m+2^3=3^2(m>6)$

$2^5+7^2=3^4$

$13^2+7^3=2^9$

$2^7+17^3=71^2$

$3^5+11^4=122^2$

$33^8+1549034^2=15613^3$

$1414^3+2213459^2=65^7$

$9262^3+15312283^2=113^7$

$17^7+76271^3=21063928^2$

$43^8+96222^3=30042907^2$

2002年にプレダ・ミハイレスクによって解決されたカタラン予想によると、最初の解 $1^m+2^3=3^2(m>6)$ は テンプレート:Math のいずれかが テンプレート:Mathとなる唯一の解を与える。ここで、任意の テンプレート:Math はフェルマー＝カタラン予想の仮定の不等式を満たすので、 これは $a^m+b^n=c^k$の無限個の解 テンプレート:Math を与えるが、三つ組(a^m, bⁿ, c^k) としてはただ一つの値 (1, 8, 9)しか与えていないため、フェルマー＝カタラン予想に反するわけではない。

ダーモン・グランヴィルの定理 (証明にはファルティングスの定理を使う) から、上記の不等式を満たす組 テンプレート:Math を一つ固定するごとに、解 テンプレート:Math が高々有限個しか存在しないことが知られている。テンプレート:要検証。

今まで見つかっている解の中では、テンプレート:Math　のうち1つは テンプレート:Math である。また、その中では テンプレート:Math は互いに素である。テンプレート:Math が全て テンプレート:Math 以上で テンプレート:Math が互いに素であるような解はないという予想（ビール予想）がある。テンプレート:Math が テンプレート:Math より大きい公約数をもつ場合としては $3^3+6^3=3^5$ などがある（この場合は テンプレート:Math が公約数）。

テンプレート:要出典テンプレート:要説明。

関連項目

• フェルマーの最終定理
• ビール予想 m,n,kが3以上のとき互いに素な解が存在しないことを主張する予想で100万ドルの懸賞金がかけられている
• カタラン予想
• 数学上の未解決問題