カッツ・ムーディ代数のソースを表示

[[数学]]において、'''カッツ・ムーディ'''（'''・リー'''）'''代数'''（{{lang-en-short|Kac–Moody algebra}}）とは、[[一般カルタン行列]]を用いて[[生成 (数学)|生成元]]と関係式によって定義できる、通常は無限次元の、[[リー代数]]である。独立に発見した[[ヴィクトル・カッツ]]と{{仮リンク|ロバート・ムーディ|en|Robert Moody}}に因んで名づけられている。[[カッツ・ムーディ・リー環]]は有限次元[[半単純リー環]]の一般化であり、[[ルート系]]、[[リー環の表現|既約表現]]、[[旗多様体]]との関連といった、リー環の構造に関係した多くの性質は、カッツ・ムーディ・リー環において自然な類似を持つ。

'''カッツ・ムーディ・リー環'''の中でも'''[[アフィン・リー環]]'''と呼ばれるクラスが、数学や[[理論物理学]]、特に[[共形場理論]]や{{仮リンク|完全可解模型|en|exactly solvable model}}の理論において、特に重要である。カッツは、組合せ論的な恒等式である[[マクドナルド恒等式]]の、アフィン・リー環の表現論に基づいたエレガントな証明を発見した。Howard Garland と {{仮リンク|James Lepowsky|en|James Lepowsky}} は[[ロジャーズ・ラマヌジャン恒等式]]が類似の方法で導出できることを証明した<ref>(?) {{harv|Garland|Lepowsky|1976}}</ref>。

== カッツ・ムーディ・リー環の歴史 ==
[[カルタン行列|カルタン整数]]から有限次元[[単純リー環]]を構成する[[エリ・カルタン]]と[[ヴィルヘルム・キリング]]による最初の方法は型に依存していた。1966年、[[ジャン＝ピエール・セール]]は、[[クロード・シュヴァレー]]と{{仮リンク|ハリシュ・チャンドラ|en|Harish-Chandra}}の関係式{{sfn|Harish-Chandra|1951}}を {{仮リンク|Nathan Jacobson|en|Nathan Jacobson}} による簡略化{{sfn|Jacobson|1962}}と合わせると[[リー代数|リー環]]を特徴づけるものが得られることを示した{{sfn|Serre|1966}}。したがってカルタン整数の行列（これは[[正定値行列|正定値]]である）からのデータを用いて生成元と関係式のことばで単純リー環を記述することができる。

{{仮リンク|ロバート・ムーディ|en|Robert Moody}}は、1967年の thesis において、[[カルタン行列]]が正定値でないようなリー環を考察した{{sfn|Moody|1967}}{{sfn|Moody|1968}}。それでもなおリー環は生じるが、無限次元である。同じ時期に、'''Z'''-{{仮リンク|次数付きリー環|en|graded Lie algebra}}がモスクワで研究されていた。{{仮リンク|I. L. カントル|en|I. L. Kantor}}が、やがて'''カッツ・ムーディ・リー環'''と呼ばれるようになるものを含むリー環の一般的なクラスを導入し研究した{{sfn|Kantor|1970}}。[[ヴィクトル・カッツ]]もまた polynomial growth の単純あるいはほとんど単純なリー環を研究していた。無限次元リー環の豊かな数学的理論が徐々に発展した。他の多くの人々の研究も含む主題の詳細は {{harvtxt|Kac|1990}} にある。{{harvtxt|Seligman|1987}} も参照。

== 定義 ==
カッツ・ムーディ・リー環を定義するには、まず以下のものを与える。
# [[階数 (線型代数学)|階数]] が {{mvar|r}} の {{math|''n'' × ''n''}} {{仮リンク|一般カルタン行列|en|generalized Cartan matrix}} {{math|1=''C'' = (''c<sub>ij''</sub>)}}.
# [[複素数]]体上 {{math|2''n'' &minus; ''r''}} 次元の[[ベクトル空間]] <math>\mathfrak{h}.</math>
# <math>\mathfrak{h}</math> の {{mvar|n}} 個の[[線型独立]]な元 <math>\alpha_i^\vee\ </math> の集合と、[[双対空間]] <math>\mathfrak{h}^*</math> の {{mvar|n}} 個の線型独立な元 <math>\alpha_i</math> の集合であって、<math>\alpha_i(\alpha_j^\vee) = c_{ji}</math> を満たすもの。<math>\alpha_i</math> たちは半単純リー環の[[半単純リー環のルート系|単純ルート]]の類似であり、<math>\alpha_i^\vee</math> たちは単純コルートの類似である。

するとカッツ・ムーディ・リー環は、<math>e_i,\,f_i\;(i \in \{1,\ldots,n\})</math> と <math>\mathfrak{h}</math> の元を[[生成 (数学)|生成元]]とし、以下の関係式によって定義される[[リー代数|リー環]] <math>\mathfrak{g}</math> である。
*<math>[h,h'] = 0\text{  for  }h,h' \in \mathfrak{h};</math>
*<math>[h,e_i] = \alpha_i(h)e_i\text{  for  }h \in \mathfrak{h};</math>
*<math>[h,f_i] = -\alpha_i(h)f_i\text{  for  }h \in \mathfrak{h};</math>
*<math>[e_i,f_j] = \delta_{ij}\alpha_i^\vee, </math> ただし <math> \delta_{ij}</math> はクロネッカーのデルタである；
*{{math|''i'' ≠ ''j''}} （したがって {{math|''c''<sub>''ij''</sub> &le; 0}}）のとき、<math>\operatorname{ad}(e_i)^{1-c_{ij}}(e_j) = 0</math> かつ <math>\operatorname{ad}(f_i)^{1-c_{ij}}(f_j) = 0.</math> ここで、<math>\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g}\to\operatorname{End}(\mathfrak{g}),\,\operatorname{ad}(x)(y)=[x,y]</math> は <math>\mathfrak{g}</math> の[[リー環の随伴表現|随伴表現]]である。

[[実数|実]][[リー代数|リー環]]（無限次元でもよい）も、{{仮リンク|複素化|en|complexification}}がカッツ・ムーディ・リー環であれば、カッツ・ムーディ・リー環と考えることができる。

==カッツ・ムーディ・リー環のルート空間分解==
<math>\mathfrak{h}</math> はカッツ・ムーディ・リー環 <math>\mathfrak{g}</math> に対する[[カルタン部分環]]の類似である。

<math>x\neq 0</math> が <math>\mathfrak{g}</math> の元であって、ある <math>\lambda\in\mathfrak{h}^*\setminus\{0\}</math> に対して

:<math>\forall h\in\mathfrak{h}, \, [h,x]=\lambda(h)x</math>

を満たすならば、''x'' を'''ルートベクトル'''と呼び、<math>\lambda</math> を <math>\mathfrak{g}</math> の'''ルート'''と呼ぶ。（慣習により零汎関数はルートとは考えない。）<math>\mathfrak{g}</math> のすべてのルートの集合をしばしば <math>\Delta</math> で、あるいはときどき <math>R</math> で記す。与えられたルート <math>\lambda</math> に対し、<math>\mathfrak{g}_\lambda</math> によって <math>\lambda</math> の'''ルート空間'''を表す。すなわち

:<math>\mathfrak{g}_\lambda = \{x\in\mathfrak{g}:\forall h\in\mathfrak{h}, [h,x] = \lambda(h)x\}.</math>

<math>\mathfrak{g}</math> の定義関係式より <math>e_i\in\mathfrak{g}_{\alpha_i}</math> と <math>f_i\in\mathfrak{g}_{-\alpha_i}</math> が従う。また、<math>x_1\in\mathfrak{g}_{\lambda_1}</math> かつ <math>x_2\in\mathfrak{g}_{\lambda_2}</math> であれば、[[ヤコビ恒等式]]より <math>[x_1,x_2]\in\mathfrak{g}_{\lambda_1+\lambda_2}</math> である。

理論の基本的な結果は、任意のカッツ・ムーディ・リー環は <math>\mathfrak{h}</math> とルート空間たちの[[直和]]に分解できるということ、すなわち、

:<math> \mathfrak{g} = \mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\lambda\in\Delta} \mathfrak{g}_\lambda</math>

であることと、すべてのルート <math>\lambda</math> はすべての <math>z_i</math> を同じ[[符号 (数学)|符号]]の[[整数]]として
:<math>\lambda = \sum_{i=1}^n z_i\alpha_i</math>
と書けるということである。

==カッツ・ムーディ・リー環の種類==
カッツ・ムーディ・リー環の性質はその一般カルタン行列 ''C'' の代数的性質によって制御される。カッツ・ムーディ・リー環を分類するためには、''分解不可能''な行列 ''C'' の場合を考えれば十分である、つまり、添え字集合 ''I'' の空でない部分集合 ''I''<sub>1</sub>, ''I''<sub>2</sub> の非交和への分解であってすべての ''i'' ∈ ''I''<sub>1</sub> と ''j'' ∈ ''I''<sub>2</sub>
に対して ''C''<sub>''ij''</sub> = 0 となるようなものは存在しないと仮定してよい。一般カルタン行列の任意の分解は対応するカッツ・ムーディ・リー環の直和分解を導く：

: <math>\mathfrak{g}(C)\simeq\mathfrak{g}(C_1)\oplus\mathfrak{g}(C_2),</math>

ここで右辺の2つのカッツ・ムーディ・リー環は添え字集合 ''I''<sub>1</sub> と ''I''<sub>2</sub> に対応する ''C'' の部分行列に付随する。

カッツ・ムーディ・リー環の重要なサブクラスは''[[対称行列|対称化可能]]''な一般カルタン行列 ''C'' に対応する。この行列は ''DS'' と分解可能で、ここで ''D'' は正整数の成分の[[対角行列]]であり、''S'' は[[対称行列]]である。''C'' は対称化可能かつ分解不可能という仮定の下で、カッツ・ムーディ・リー環は3つのクラスに分割される：

* [[正定値行列]] ''S'' は有限次元[[単純リー環]]を生じる。
* [[行列の定値性|半正定値行列]] ''S'' は'''アフィン型'''の無限次元カッツ・ムーディ・リー環、[[アフィン・リー環]]を生じる。
* [[不定値行列]] ''S'' は'''不定型'''のカッツ・ムーディ・リー環を生じる。
* ''C'' と ''S'' の対角成分は正だから、''S'' は[[負定値行列|負定値]]あるいは半負定値にはなりえない。

有限型とアファイン型の対称化可能で分解不可能な一般カルタン行列は完全に分類されている。それらは[[ディンキン図形]]と{{仮リンク|アファイン・ディンキン図形|en|affine Dynkin diagram}}に対応する。不定型のカッツ・ムーディ・リー環についてはほとんど分かっていない。これらのカッツ・ムーディ代数に対応する群は[[ジャック・ティッツ]]によって任意の体上構成されたが{{sfn|Tits|1987}}。

不定型のカッツ・ムーディ・リー環の中ではほとんどの研究は'''双曲型'''のものに焦点を当てている。これは行列 {{mvar|S}} は不定値だが、{{mvar|I}} の各真部分集合に対し、対応する部分行列が正定値あるいは半正定値となるものである。双曲的カッツ・ムーディ環は階数が高々 10 であり、それらは完全に分類されている{{sfn|Carbone|Chung|Cobbs|McRae|<!--Nandi|Naqvi|Penta|-->2010}}。階数 2 のものは無限にあり、3 から 10 には 238 個ある。[[:en:Dynkin_diagram#238_Hyperbolic_groups_.28compact_and_noncompact.29|hyperbolic groups: compact and noncompact]] に一覧がある。

==関連項目==
*[[ワイルの指標公式#ワイル・カッツの指標公式]]
*[[一般カッツ・ムーディ代数]]

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{cite journal |last=Carbone |first=L. |last2=Chung |first2=S. |last3=Cobbs |first3=C. |last4=McRae |first4=R. |last5=Nandi |first5=D. |last6=Naqvi |first6=Y. |last7=Penta |first7=D. |title=Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits |journal=[[Journal of Physics A|J. Phys. A: Math. Theor.]] |volume=43 |issue=15 |pages=155209 |year=2010 |doi=10.1088/1751-8113/43/15/155209 |arxiv=1003.0564 |ref=harv}}
*{{cite journal |first=H. |last=Garland |first2=J. |last2=Lepowsky |title=Lie algebra homology and the Macdonald-Kac formulas |journal=[[Inventiones Mathematicae|Invent. Math.]] |volume=34 |issue=1 |year=1976 |pages=37–76 |doi=10.1007/BF01418970 |ref=harv}}
*{{cite journal |last=Harish-Chandra |title=On some applications of the universal enveloping algebra of a semisimple Lie algebra |journal=[[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]] |volume=70 |issue=1 |year=1951 |pages=28–28 |doi= 10.1090/S0002-9947-1951-0044515-0|jstor=1990524|ref=harv}}
*{{SpringerEOM|title=Kac–Moody algebra|author=|urlname=Kac–Moody_algebra}}
*{{cite book |last=Jacobson |first=N. |title=Lie algebras |series=Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics |volume=10 |publisher=Interscience Publishers (a division of John Wiley & Sons) |location=New York-London |year=1962 |ref=harv}}
*V.G. Kac, ''Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth'' Math. USSR Izv., 2 (1968) pp.&nbsp;1271–1311, Izv. Akad. Nauk USSR Ser. Mat., 32 (1968) pp.&nbsp;1923–1967
*{{cite book|last=Kac|first=V.|authorlink=ヴィクトル・カッツ|title=Infinite dimensional Lie algebras|edition=3rd|publisher=Cambridge University Press|year=1990|isbn=0-521-46693-8|url=https://books.google.com/books?id=kuEjSb9teJwC&lpg=PP1&dq=Victor%20G.%20Kac&pg=PP1#v=onepage&q&f=false|ref=harv}}
*{{cite journal |last=Kantor |first=I. L. |title=Graded Lie algebras |language=Russian |journal=Trudy Sem. Vektor. Tenzor. Anal. |volume=15 |issue= |year=1970 |pages=227–266 |doi= |ref=harv}}
*{{cite book|last=Kumar|first=S.|authorlink=Shrawan Kumar|title=Kac–Moody Groups, their Flag Varieties and Representation Theory|edition=1st|publisher=Birkhäuser|year=2002|isbn=3-7643-4227-7}}
*{{cite journal |last=Moody |first=R. V. |title=Lie algebras associated with generalized cartan matrices |journal=Bull. Amer. Math. Soc. |volume=73 |issue= 2|year=1967 |pages=217–222 |url=http://www.ams.org/journals/bull/1967-73-02/S0002-9904-1967-11688-4/S0002-9904-1967-11688-4.pdf |doi=10.1090/S0002-9904-1967-11688-4 |ref=harv}}
*{{cite journal|last=Moody|first=R.V.|authorlink=ロバート・ムーディ|title=A new class of Lie algebras|journal=Journal of Algebra|volume=10|year=1968|pages=211–230|ref=harv}}
*{{cite journal |last=Seligman |first=George B. |title=Book Review: Infinite dimensional Lie algebras |journal=Bull. Amer. Math. Soc. |series=N.S. |volume=16 |year=1987 |issue=1 |pages=144–150 |doi=10.1090/S0273-0979-1987-15492-9 |ref=harv}}
*{{cite book |last=Serre |first=J.-P. |title={{lang|fr|Algèbres de Lie semi-simples complexes}} |language=French |publisher=W. A. Benjamin |location=New York-Amsterdam |year=1966 |ref=harv}}
*A. J. Wassermann, [https://arxiv.org/abs/1004.1287 Lecture notes on Kac–Moody and Virasoro algebras]
*{{cite journal |last=Tits |first=J. |title =Uniqueness and presentation of Kac–Moody groups over fields|journal=[[Journal of Algebra]] |volume=105 |pages=542–573 |year=1987 }}

==外部リンク==
* [http://www.emis.de/journals/SIGMA/Kac-Moody_algebras.html SIGMA: Special Issue on Kac-Moody Algebras and Applications]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:かつつむうていたいすう}}
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