カラテオドリ計量のソースを表示

[[数学]]の分野における'''カラテオドリ計量'''とは、[[複素数|複素]][[バナッハ空間]]の[[開集合|開]][[単位球]]上に定義される[[距離函数|計量]]で、[[双曲幾何学]]における[[ポアンカレ計量]]と類似の性質を多く持つ。[[ギリシャ]]の[[数学者]]である[[コンスタンティン・カラテオドリ]]の名にちなむ。

== 定義 ==
(''X'', ǁ&nbsp;ǁ) を複素バナッハ空間とし、''B'' を ''X'' 内の単位開球とする。Δ を[[複素平面]] '''C''' 内の開単位円板とすると、それは二次元実/一次元複素の双曲幾何の[[ポアンカレ円板モデル]]と見なされる。Δ 上のポアンカレ計量 ''ρ'' を
:<math>\rho (a, b) := \tanh^{-1} \frac{| a - b |}{|1 - \bar{a} b |}</math>
で与える（したがって、[[曲率]]は &minus;4 に固定される）。このとき、''B'' 上の'''カラテオドリ計量''' ''d'' は
:<math>d (x, y) := \sup \{ \rho (f(x), f(y));\ f\colon B \to \Delta \mbox{ is holomorphic} \} </math>
と定義される。ここで、バナッハ空間上の関数が正則（holomorphic）であるということの意味については、記事{{仮リンク|無限次元正則性|en|Infinite-dimensional holomorphy}}を参照されたい。

== 性質 ==
* ''B'' 内の任意の点 ''x'' に対して
::<math>d(0, x) = \rho(0, \| x \|)</math>
:が成り立つ。

* ''d'' は次の式でも与えられる（カラテオドリは、これは[[エルハルト・シュミット]]によって得られた結果であるとしている）:

::<math>d(x, y) = \sup \left\{ 2 \tanh^{-1} \left\| \frac{f(x) - f(y)}{2} \right\| ;\  f\colon B \to \Delta \mbox{ is holomorphic} \right\}</math>

* ''B'' 内のすべての ''a'' および ''b'' に対して
::<math>\| a - b \| \leq 2 \tanh \frac{d(a, b)}{2} \qquad (1)</math>
:が成立する。また、この等号が成り立つための必要十分条件は、''a'' = ''b'' であるか、あるいは ǁℓǁ = 1 と ℓ(''a'' + ''b'') = 0 および
::<math>\rho (\ell (a), \ell (b)) = d(a, b)</math>
:を満たすような[[有界作用素|有界線形汎関数]] ℓ &isin; ''X''<sup>&lowast;</sup> が存在することである。さらに、このような三条件を満たす ℓ はどのようなものであっても |ℓ(''a'' &minus; ''b'')| = ǁ''a'' &minus; ''b''ǁ を満たす。

* また、ǁ''a''ǁ = ǁ''b''ǁ および ǁ''a''&nbsp;&minus;&nbsp;''b''ǁ = ǁ''a''ǁ + ǁ''b''ǁ が成立している場合にも、(1) における等号は成立する。これを成立させるための一つの方法として、''b'' = &minus;''a'' とすることが考えられる。

* ''X'' 内の閉単位球の[[極点|端点]]では無いような、''X'' 内の単位ベクトル ''u'' が存在するならば、(1) において等号が成立するが ''b''&nbsp;≠&nbsp;±''a'' であるような ''B'' 内の点 ''a'' と ''b'' が存在する。

== 接ベクトルのカラテオドリ長 ==
球 ''B'' への[[接ベクトル空間|接ベクトル]]に対するカラテオドリ長（Carathéodory length）という概念がある。''x'' を ''B'' の点とし、''v'' を ''x'' における ''B'' への接ベクトルとする。''B'' はベクトル空間 ''X'' 内の開単位球であるため、接空間 T<sub>''x''</sub>''B'' は自然な方法によって ''X'' と関連付けられ、''v'' は ''X'' の元と見なされる。このとき、''x'' における ''v'' の'''カラテオドリ長''' ''α''(''x'',&nbsp;''v'') は
:<math>\alpha (x, v) := \sup \{ |Df(x) v |;\ f\colon B \to \Delta \mbox{ is holomorphic}\}</math>
と定義される。''α''(''x'',&nbsp;''v'')&nbsp;≥&nbsp;ǁ''v''ǁ であり、等号は ''x''&nbsp;=&nbsp;0 であるときに成り立つことが示される。

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|エアレ-ハミルトンの不動点定理|en|Earle–Hamilton fixed point theorem}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|   author = Earle, Clifford J. and Harris, Lawrence A. and Hubbard, John H. and Mitra, Sudeb
|  chapter = Schwarz's lemma and the Kobayashi and Carathéodory pseudometrics on complex Banach manifolds
|    title = Kleinian groups and hyperbolic 3-manifolds (Warwick, 2001)
|   editor = Komori, Y., Markovic, V. and Series, C. (eds)
|   series = London Math. Soc. Lecture Note Ser. 299
|    pages = 363&ndash;384
|publisher = Cambridge Univ. Press
| location = Cambridge
|     year = 2003
}}

{{DEFAULTSORT:からておとりけいりよう}}

[[Category:双曲幾何学]]
[[Category:計量幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]