カラテオドリ計量

数学の分野におけるカラテオドリ計量とは、複素バナッハ空間の開単位球上に定義される計量で、双曲幾何学におけるポアンカレ計量と類似の性質を多く持つ。ギリシャの数学者であるコンスタンティン・カラテオドリの名にちなむ。

定義

(X, ǁ ǁ) を複素バナッハ空間とし、B を X 内の単位開球とする。Δ を複素平面 C 内の開単位円板とすると、それは二次元実/一次元複素の双曲幾何のポアンカレ円板モデルと見なされる。Δ 上のポアンカレ計量 ρ を

$\rho (a,b):={\tanh }^{-1}\frac{|a-b|}{|1-\overline{a}b|}$

で与える（したがって、曲率は −4 に固定される）。このとき、B 上のカラテオドリ計量 d は

$d(x,y):=\sup \{\rho (f(x),f(y));f:B\to \mathrm{\Delta }\text{ is holomorphic}\}$

と定義される。ここで、バナッハ空間上の関数が正則（holomorphic）であるということの意味については、記事テンプレート:仮リンクを参照されたい。

性質

• B 内の任意の点 x に対して

$d(0,x)=\rho (0,\Vert x\Vert )$

が成り立つ。

• d は次の式でも与えられる（カラテオドリは、これはエルハルト・シュミットによって得られた結果であるとしている）:

$d(x,y)=\sup \{2{\tanh }^{-1}\Vert \frac{f(x)-f(y)}{2}\Vert ;f:B\to \mathrm{\Delta }\text{ is holomorphic}\}$

• B 内のすべての a および b に対して

$\Vert a-b\Vert \le 2\tanh \frac{d(a,b)}{2}(1)$

が成立する。また、この等号が成り立つための必要十分条件は、a = b であるか、あるいは ǁℓǁ = 1 と ℓ(a + b) = 0 および

$\rho (\ell (a),\ell (b))=d(a,b)$

を満たすような有界線形汎関数 ℓ ∈ X^∗ が存在することである。さらに、このような三条件を満たす ℓ はどのようなものであっても |ℓ(a − b)| = ǁa − bǁ を満たす。

• また、ǁaǁ = ǁbǁ および ǁa − bǁ = ǁaǁ + ǁbǁ が成立している場合にも、(1) における等号は成立する。これを成立させるための一つの方法として、b = −a とすることが考えられる。

• X 内の閉単位球の端点では無いような、X 内の単位ベクトル u が存在するならば、(1) において等号が成立するが b ≠ ±a であるような B 内の点 a と b が存在する。

接ベクトルのカラテオドリ長

球 B への接ベクトルに対するカラテオドリ長（Carathéodory length）という概念がある。x を B の点とし、v を x における B への接ベクトルとする。B はベクトル空間 X 内の開単位球であるため、接空間 T_xB は自然な方法によって X と関連付けられ、v は X の元と見なされる。このとき、x における v のカラテオドリ長 α(x, v) は

$\alpha (x,v):=\sup \{|Df(x)v|;f:B\to \mathrm{\Delta }\text{ is holomorphic}\}$

と定義される。α(x, v) ≥ ǁvǁ であり、等号は x = 0 であるときに成り立つことが示される。

関連項目

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参考文献

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