カントール分布のソースを表示

{{単一の出典|date=2014年12月}}
[[File:CantorEscalier-2.svg|thumb|250px|カントール分布の累積分布関数]]
'''カントール分布'''（カントールぶんぷ、{{Lang-en-short|Cantor distribution}}）とは、[[累積分布関数]]が[[カントール関数]]である[[確率分布]]のことである。

この分布は[[ルベーグ測度]]に関して[[絶対連続]]ではなく、どのような点質量も持たないため、[[確率密度関数]]も[[確率質量関数]]も存在しない。したがってこの分布は[[離散確率分布]]でも[[連続確率分布#絶対連続分布|絶対連続確率分布]]でもなく、それらを組み合わせたものでもない。この分布はむしろ[[特異分布]]の一例である。

この分布の累積分布関数は、しばしば「[[カントール関数|悪魔の階段]]」と呼ばれる。しかしこの用語はより一般的な意味を持つものである。

== 特徴 ==
カントール分布の[[関数の台|台]]は[[カントール集合]]、つまり（可算個の）集合
:<math>\begin{align}
 C_0 = &[0,1] \\
 C_1 = &[0, \tfrac{1}{3}] \cup [\tfrac{2}{3}, 1] \\
 C_2 = &[0, \tfrac{1}{9}] \cup [\tfrac{2}{9}, \tfrac{1}{3}] \cup [\tfrac{2}{3}, \tfrac{7}{9}] \cup [\tfrac{8}{9}, 1] \\
 C_3 = &[0, \tfrac{1}{27}] \cup [\tfrac{2}{27}, \tfrac{1}{9}] \cup [\tfrac{2}{9}, \tfrac{7}{27}] \cup [\tfrac{8}{27}, \tfrac{1}{3}] \cup \\
       &[\tfrac{2}{3}, \tfrac{19}{27}] \cup [\tfrac{20}{27}, \tfrac{7}{9}] \cup [\tfrac{8}{9}, \tfrac{25}{27}] \cup [\tfrac{26}{27}, 1] \\
 C_4 = &\cdots 
\end{align}</math>
の[[共通部分]]である。

カントール分布は、任意の {{mvar|C{{sub|t}}}} ({{math2|''t'' ∈ {0, 1,  2, 3, …{{)}}}}) に対して、カントール分布の確率変数を含む {{mvar|C{{sub|t}}}} 内のある特定の区間が、その {{math|2{{sup|''t''}}}} 個の各区間の上で恒等的に {{math|2{{sup|&minus;''t''}}}} であるような唯一つの確率分布である。

== モーメント ==
対称性により、この分布を持つ[[確率変数]] {{mvar|X}} に対して、その[[期待値]]は {{math2|E(''X'') {{=}} {{sfrac|1|2}}}} となり、すべての {{mvar|X}} の奇中心モーメントは {{math|0}} であることが簡単に分かる。

[[分散 (確率論)|分散]] {{math|var(''X'')}} を求める上で、{{仮リンク|全分散の法則|en|law of total variance}}を次のように用いることができる。上述の集合 {{math|''C''{{sub|1}}}} に対して、{{math2|''X'' ∈ [0, {{sfrac|1|3}}]}} であれば {{math2|''Y'' {{=}} 0}} とし、{{math|''X'' ∈ [{{sfrac|2|3}}, 1]}} であれば {{math2|''Y'' {{=}} 1}} とする。このとき、
:<math>\begin{align}
\operatorname{var}(X) & = \operatorname{E}(\operatorname{var}(X\mid Y)) + 
                          \operatorname{var}(\operatorname{E}(X\mid Y)) \\
                      & = \frac{1}{9}\operatorname{var}(X) + 
                          \operatorname{var}
                            \left\{
                             \begin{matrix} 1/6 & \mbox{with probability}\ 1/2 \\ 
                                            5/6 & \mbox{with probability}\ 1/2
                             \end{matrix}
                            \right\} \\
                      & = \frac{1}{9}\operatorname{var}(X) + \frac{1}{9}.
\end{align}</math>
が得られる。これより
:<math>\operatorname{var} (X)=\frac{1}{8}</math>
が得られる。任意の偶{{仮リンク|中心モーメント|en|central moment}}に対する閉形式表現は、初めに偶[[キュムラント]][http://www.calpoly.edu/~kmorriso/Research/RandomWalks.pdf]

:<math>
 \kappa_{2n} = \frac{2^{2n-1} (2^{2n}-1) B_{2n}}
                    {n\, (3^{2n}-1)}, \,\!
</math>
を得、続いてそのキュムラントの関数としてモーメントを表現することで得られる。ここで {{math|''B''{{sub|2''n''}}}} は {{math|2''n''}} 番目の[[ベルヌーイ数]]である。

== 脚注 ==
{{Reflist}}
* {{Cite web |last=Morrison |first=Kent |url=http://www.calpoly.edu/~kmorriso/Research/RandomWalks.pdf |format=PDF |title=Random Walks with Decreasing Steps |publisher=Department of Mathematics, California Polytechnic State University |date=1998-07-23 |accessdate=2007-02-16}}

{{確率分布の一覧}}
{{DEFAULTSORT:かんとおるふんふ}}
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