ガウスの微分方程式のソースを表示

'''ガウスの微分方程式'''（ガウスのびぶんほうていしき）あるいは'''超幾何微分方程式'''（ちょうきかびぶんほうていしき）とは[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]にその名をちなむ、以下の形をした[[常微分方程式]]である<ref name="toki">{{Harvtxt|時弘|2006}}.</ref><ref name="hara">{{Harvtxt|原岡|2002}}.</ref><ref name="kim">{{Harvtxt|木村|2007}}.</ref>。

{{Indent|<math>\displaystyle
x(1-x)y''+(\gamma-(\alpha+\beta+1)x)y'-\alpha\beta y=0
</math>}}

ここで &alpha;, &beta;, &gamma; は[[複素数|複素]]定数である。

==性質==
===特異点と厳密解===
この微分方程式は <math>\displaystyle  x=0,1,\infty</math> において{{仮リンク|確定特異点|en|regular singular point}}を持ち、
それ以外に[[特異点 (数学)|特異点]]を持たない<ref name="toki"/><ref name="hara"/><ref name="kim"/>。
また各特異点での解はガウスの[[超幾何関数]]  <math>\displaystyle F(\alpha,\beta,\gamma ; x) </math> を使って以下の様に表せる事が知られている<ref name="toki"/><ref name="hara"/><ref name="kim"/>。

; ''x'' = 0 での解
:<math>\displaystyle  y_{1,0}(x) = F( \alpha, \beta, \gamma ; x)</math>
:<math>\displaystyle  y_{2,0}(x) = x^{1-\gamma}F(\alpha-\gamma+1,\beta-\gamma+1,2-\gamma ;x)</math>
; ''x'' = 1 での解
:<math>\displaystyle  y_{1,1}(x) = F(\alpha,\beta,\alpha+\beta-\gamma+1 ; 1-x)</math>
:<math>\displaystyle  y_{2,1}(x) = (1-x)^{\gamma-\alpha-\beta}F(\gamma-\alpha,\gamma-\beta,\gamma-\alpha-\beta+1 ; 1-x)</math>
; ''x'' = &infin; での解
:<math>\displaystyle  y_{1,\infty}(x) = x^{-\alpha}F(\alpha,\alpha+1-\gamma,\alpha-\beta+1 ; 1/x )</math>
:<math>\displaystyle  y_{2,\infty}(x) = x^{-\beta}F(\beta,\beta+1-\gamma,\beta-\alpha+1 ; 1/x )</math>

===変数変換でガウスの微分方程式に帰着する方程式===
3点を{{仮リンク|確定特異点|en|regular singular point}}にもつ[[フックス型微分方程式]]は変数変換でガウスの微分方程式に帰着する<ref name="toki"/>。

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書
|author=木村弘信
|date=2007-05
|title=超幾何関数入門　特殊関数への統一的視点からのアプローチ
|series=臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ 55
|publisher=[[サイエンス社]]
|id={{ISSN|03868257}}
|ref={{Harvid|木村|2007}}
}}
*{{Cite book|和書
|author=時弘哲治
|date=2006-06
|title=工学における特殊関数
|series=工系数学講座 13
|publisher=[[共立出版]]
|isbn=978-4-320-01612-5
|ref={{Harvid|時弘|2006}}
}}
*{{Cite book|和書
|author=原岡喜重
|date=2002-10
|title=超幾何関数
|series=すうがくの風景 7
|publisher=[[朝倉書店]]
|isbn=978-4-254-11557-4
|ref={{Harvid|原岡|2002}}
}}

==関連項目==
*{{仮リンク|フロベニウスの方法|en|Frobenius method}}

===一般化===
*[[パンルヴェ方程式]]
*[[複素微分方程式]]
*[[フックス型微分方程式]]
*[[ホイン函数#ホインの方程式]]

===退化・変形===
*[[ルジャンドルの微分方程式]]

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Hypergeometric Function|urlname=HypergeometricFunction}}

{{analysis-stub}}

{{DEFAULTSORT:かうすのひふんほうていしき}}
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:複素解析]]
[[Category:カール・フリードリヒ・ガウス]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]