ガウス＝クズミン分布のソースを表示

{{確率分布
|名前 = ガウス＝クズミン分布
|型 = 質量
|画像/確率関数 =
|画像/分布関数 =
|母数 = (none)
|台 = <math>\{ 1,2,\cdots \}</math>
|確率関数 = <math>-\log_2 \left[ 1-\frac{1}{(k+1)^2}\right]</math>
|分布関数 = <math>1-\log_2 \left( \frac{k+2}{k+1} \right)</math>
|期待値 = <math>+\infty</math>
|中央値 = <math>2</math>
|最頻値 = <math>1</math>
|分散 = <math>+\infty</math>
|歪度 = なし
|尖度 = なし
|エントロピー = 
<!-- 3.432527514776...
<ref>{{Cite journal |last1=Blachman |first1=N. |year=1984 |title=The continued fraction as an information source (Corresp.) |url= |journal=IEEE Transactions onInformation Theory |volume=30 |issue=4 |pages=671–674 |doi=10.1109/TIT.1984.1056924}}</ref><ref name="KornerupMatula">{{Cite journal |last=Kornerup |first=P. |first2=D. |last2=Matula |title=LCF: A lexicographic binary representation of the rationals |journal=Journal of Universal Computer Science |date=1995-07 |volume=1 |pages=pp. 484–503}}</ref><ref>{{Citation |last=Vepstas |first=L. |title=Entropy of Continued Fractions (Gauss-Kuzmin Entropy) |year=2008 |url=http://linas.org/math/entropy.pdf |format=PDF}}</ref>
（エントロピーに関しては、英語版のノートで数値の信頼性について疑問が提示[[https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Gauss–Kuzmin_distribution]]されているため
コメントアウトとしておきます。この数値の典拠とされているIEEEの論文を閲覧できる方がおりましたらご確認お願いします。)-->
|モーメント母関数 =
|特性関数 =
}}
[[数学]]の分野における'''ガウス＝クズミン分布'''（ガウス＝クズミンぶんぷ、{{Lang-en-short|Gauss–Kuzmin distribution}}）とは、{{math|(0, 1)}} 内に[[連続一様分布|一様に分布]]されたある[[確率変数]]の[[連分数]]展開に現れる係数の極限[[確率分布]]として生じるある[[離散確率分布]]のことである<ref>{{MathWorld|title=Gauss–Kuzmin Distribution|urlname=Gauss-KuzminDistribution}}</ref>。1800年頃にこの分布を発見した[[カール・フリードリヒ・ガウス]]<ref>{{Cite book |last=Gauss |first=C.F. |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN236018647 |pages=552&ndash;556 |title=Werke Sammlung |volume=10/1}}</ref>と、1929年にその収束率の評価を与えた{{仮リンク|ロディオン・クズミン|en|Rodion Kuzmin}}の名に因む<ref>{{Cite journal |last=Kuzmin |first=R.O. |title=On a problem of Gauss |journal=DAN SSSR |year=1928 |pages=375&ndash;380}}</ref><ref>{{Cite journal |first=R.O. |last=Kuzmin |title=On a problem of Gauss
 |journal=Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna |year=1932 |volume=6 |pages=pp. 83–89}}</ref>。それは次のような[[確率質量関数]]で与えられる。
:<math>p(k)=-\log_2 \left( 1-\frac{1}{(1+k)^2}\right)~.</math>

== ガウス＝クズミンの定理 ==
今
:<math>x=\frac{1}{k_1 + \frac{1}{k_2 + \cdots}}</math>
を {{math|(0, 1)}} 内に一様に分布する確率変数 {{mvar|x}} の連分数展開とする。このとき
:<math>\lim_{n \to \infty} \mathbb{P} \left\{ k_n = k \right\} = - \log_2\left(1 - \frac{1}{(k+1)^2}\right)</math>
が成立する。また同値であるが、
:<math>x_n = \frac{1}{k_{n+1} + \frac{1}{k_{n+2} + \cdots}}~;</math>
とすれば、
:<math>\Delta_n (s) = \mathbb{P} \left\{ x_n \leq s \right\} - \log_2 (1+s)</math>
は {{mvar|n}} が無限大に向かうに従ってゼロに近付く。

== 収束率 ==
1928年、クズミンは次の評価を与えた。
:<math>|\Delta_n (s)| \leq C \exp (-\alpha \sqrt{n})~.</math>
1929年、[[ポール・レヴィ (数学者)|ポール・レヴィ]]はこの評価を次のように改善した<ref>{{Cite journal |last=Lévy |first=P. |title=Sur les lois de probabilité dont dépendent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue |journal=[[:en:Bulletin de la Société Mathématique de France|Bulletin de la Société Mathématique de France]] |year=1929 |volume=57 |pages= pp. 178&ndash;194 |url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1929__57__178_0|jfm=55.0916.02}}</ref>。
:<math>|\Delta_n(s)| \leq C \, 0.7^n~.</math>
その後エデュアルト・ヴィルズィングは、{{math|''λ'' {{=}} 0.30366…}}（[[ガウス＝クズミン＝ヴィルズィング作用素|ガウス＝クズミン＝ヴィルズィング定数]]）に対して、次の極限
:<math>\Psi(s) = \lim_{n \to \infty} \frac{\Delta_n(s)}{(-\lambda)^n}</math>
が {{math|[0, 1]}} 内のすべての {{mvar|s}} について存在すること、およびその関数 {{math|''Ψ''(''s'')}} は解析的であり {{math|''Ψ''(0) {{=}} ''Ψ''(1) {{=}} 0}} を満たすことを示した<ref>{{Cite journal |last=Wirsing |first=E. |title=On the theorem of Gauss–Kusmin–Lévy and a Frobenius-type theorem for function spaces |journal=Acta Arithmetica |year=1974 |volume=24 |pages=pp. 507–528}}</ref>。その後のさらなる評価は、K.I. Babenko によって示されている<ref>{{Cite journal |last=Babenko |first=K.I. |title=On a problem of Gauss|journal=Soviet Math. Dokl. |year=1978 |volume=19 |pages=pp. 136–140}}</ref>。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ヒンチンの定数|en|Khinchin's constant}}

== 出典 ==
{{Reflist}}

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:かうすくすみんふんふ}}
[[Category:分数]]
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]