ガウス＝クズミン分布

テンプレート:確率分布 数学の分野におけるガウス＝クズミン分布（ガウス＝クズミンぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）とは、テンプレート:Math 内に一様に分布されたある確率変数の連分数展開に現れる係数の極限確率分布として生じるある離散確率分布のことである。1800年頃にこの分布を発見したカール・フリードリヒ・ガウスと、1929年にその収束率の評価を与えたテンプレート:仮リンクの名に因む。それは次のような確率質量関数で与えられる。

$p(k)=-{\log }_2(1-\frac{1}{(1+k{)}^2}).$

ガウス＝クズミンの定理

今

$x=\frac{1}{k_1+\frac{1}{k_2+\cdots }}$

を テンプレート:Math 内に一様に分布する確率変数 テンプレート:Mvar の連分数展開とする。このとき

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{P}\{k_n=k\}=-{\log }_2(1-\frac{1}{(k+1{)}^2})$

が成立する。また同値であるが、

$x_n=\frac{1}{k_{n+1}+\frac{1}{k_{n+2}+\cdots }};$

とすれば、

${\mathrm{\Delta }}_n(s)=\mathbb{P}\{x_n\le s\}-{\log }_2(1+s)$

は テンプレート:Mvar が無限大に向かうに従ってゼロに近付く。

収束率

1928年、クズミンは次の評価を与えた。

$|{\mathrm{\Delta }}_n(s)|\le C\exp (-\alpha \sqrt{n}).$

1929年、ポール・レヴィはこの評価を次のように改善した。

$|{\mathrm{\Delta }}_n(s)|\le C0.7^n.$

その後エデュアルト・ヴィルズィングは、テンプレート:Math（ガウス＝クズミン＝ヴィルズィング定数）に対して、次の極限

$\mathrm{\Psi }(s)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\mathrm{\Delta }}_n(s)}{(-\lambda {)}^n}$

が テンプレート:Math 内のすべての テンプレート:Mvar について存在すること、およびその関数 テンプレート:Math は解析的であり テンプレート:Math を満たすことを示した。その後のさらなる評価は、K.I. Babenko によって示されている。

関連項目

• テンプレート:仮リンク