キャップ積のソースを表示

{{No footnotes|date=September 2010}}

[[代数トポロジー]]において、'''キャップ積'''（{{lang-en-short|cap product}}）は次数 ''p'' の{{仮リンク|チェイン (代数トポロジー)|label=チェイン|en|chain (algebraic topology)}}と次数 ''q'' &le; ''p'' の[[コチェイン]]から次数 ''p'' &minus; ''q'' の新しいチェインを作る手法である。キャップ積は1936年に{{仮リンク|Eduard Čech|en|Eduard Čech}}により、1938年に{{仮リンク|Hassler Whitney|en|Hassler Whitney}}により独立に導入された。

==定義==
''X'' を[[位相空間]]とし ''R'' を係数環とする。キャップ積は特異ホモロジー及びコホモロジー上の[[双線型写像]]
:<math>\frown\;: H_p(X;R)\times H^q(X;R) \rightarrow H_{p-q}(X;R)</math>

であって以下のように定義される。[[特異チェイン]] <math>\sigma : \Delta\ ^p \rightarrow\ X</math> と特異[[コチェイン]] <math> \psi \in C^q(X;R) </math> に対し

:<math> \sigma \frown \psi = \psi(\sigma|_{[v_0, \ldots, v_q]}) \sigma|_{[v_q, \ldots, v_p]}</math>

とする。ここで、表記 <math>\sigma|_{[v_0, \ldots, v_q]}</math> は単体写像 <math>\sigma</math> の底のベクトルによって張られる面への制限を表す。{{仮リンク|単体 (数学)|en|Simplex|label=単体|preserve=1}}を参照。
<!--
==解釈==
[[カップ積]]の{{仮リンク|キネット公式|en|Künneth formula}}のことばでの解釈との類似で、キャップ積の存在を ''X'' の[[チェイン複体]]およびコチェイン複体のことばで次の合成を考えることによって説明できる：

<math> C_\bullet(X) \otimes C^\bullet(X) \overset{\Delta_* \otimes \mathrm{Id}}{\longrightarrow} C_\bullet(X) \otimes C_\bullet(X) \otimes C^\bullet(X) \overset{\mathrm{Id} \otimes \varepsilon}{\longrightarrow} C_\bullet(X) </math>

ここで{{仮リンク|キネットの定理|en|Künneth theorem|label=チェイン複体のテンソル積}}を取っていて、<math> \Delta \colon X \to X \times X</math> はチェイン複体上の写像 <math>\Delta_*</math> を誘導する{{仮リンク|対角関手|en|diagonal functor|label=対角写像}}で、<math>\varepsilon \colon C_p(X) \otimes C^q(X) \to \mathbb{Z}</math> は[[評価写像]]である（''p'' = ''q'' のときを除いて常に 0 である）。

This composition then passes to the quotient to define the cap product <math> \frown \colon H_\bullet(X) \times H^\bullet(X) \to H_\bullet(X)</math>, and looking carefully at the above composition shows that it indeed takes the form of maps <math> \frown \colon H_p(X) \times H^q(X) \to H_{p-q}(X)</math>, which is always zero for <math>p < q</math>.

==The slant product==

The above discussion indicates that the same operation can be defined on [[cartesian product]]s <math>X\times Y</math> yielding a product
:<math>\backslash\;: H_p(X;R)\otimes H^q(X\times Y;R) \rightarrow H^{q-p}(Y;R).</math>

In case ''X = Y'', the two products are related by the diagonal map.
-->
==Equations==
キャップ積のバウンダリは次で与えられる：

:<math>\partial(\sigma \frown \psi) = (-1)^q(\partial \sigma \frown \psi - \sigma \frown \delta \psi). </math>

写像 ''f'' が与えられると誘導された写像は次を満たす：

:<math> f_*( \sigma ) \frown \psi = f_*(\sigma \frown f^* (\psi)). </math>

キャップ積と[[カップ積]]は次で関係づけられる：

:<math> \psi(\sigma \frown \varphi) = (\varphi \smile \psi)(\sigma)</math>

ただし

:<math>\sigma : \Delta ^{p+q} \rightarrow X</math> ,  <math> \psi \in C^q(X;R)</math> and <math> \varphi \in C^p(X;R). </math>

最後の式の面白い結果として、<math>H_{\ast}(X;R)</math> は右 <math>H^{\ast}(X;R)</math> [[環上の加群|加群]]になる。

==関連項目==
*[[カップ積]]
*[[ポワンカレ双対]]
*[[特異ホモロジー]]
*[[ホモロジー論]]

==参考文献==
*[[Allen Hatcher|Hatcher, A.]], ''[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATchapters.html Algebraic Topology],'' [[Cambridge University Press]] (2002) ISBN 0-521-79540-0. Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
*{{nlab|id=slant+product|title=slant product}}

{{DEFAULTSORT:きやつふせき}}
[[Category:ホモロジー論]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:二項演算]]
[[Category:数学に関する記事]]