キャップ積

代数トポロジーにおいて、キャップ積（テンプレート:Lang-en-short）は次数 p のテンプレート:仮リンクと次数 q ≤ p のコチェインから次数 p − q の新しいチェインを作る手法である。キャップ積は1936年にテンプレート:仮リンクにより、1938年にテンプレート:仮リンクにより独立に導入された。

定義

X を位相空間とし R を係数環とする。キャップ積は特異ホモロジー及びコホモロジー上の双線型写像

⌢ : H_{p} (X; R) \times H^{q} (X; R) \to H_{p - q} (X; R)

であって以下のように定義される。特異チェイン $σ : Δ^{p} \to X$ と特異コチェイン $ψ \in C^{q} (X; R)$ に対し

σ ⌢ ψ = ψ (σ |_{[v_{0}, \dots, v_{q}]}) σ |_{[v_{q}, \dots, v_{p}]}

とする。ここで、表記 $σ |_{[v_{0}, \dots, v_{q}]}$ は単体写像 $σ$ の底のベクトルによって張られる面への制限を表す。テンプレート:仮リンクを参照。

キャップ積のバウンダリは次で与えられる：

\partial (σ ⌢ ψ) = (- 1)^{q} (\partial σ ⌢ ψ - σ ⌢ δ ψ) .

写像 f が与えられると誘導された写像は次を満たす：

f_{*} (σ) ⌢ ψ = f_{*} (σ ⌢ f^{*} (ψ)) .

キャップ積とカップ積は次で関係づけられる：

ψ (σ ⌢ φ) = (φ ⌣ ψ) (σ)

ただし

σ : Δ^{p + q} \to X

,

ψ \in C^{q} (X; R)

and

φ \in C^{p} (X; R) .

最後の式の面白い結果として、 $H_{*} (X; R)$ は右 $H^{*} (X; R)$ 加群になる。

Hatcher, A., Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0. Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
テンプレート:Nlab