キュムラント母関数のソースを表示

{{出典の明記|date=2024年4月16日 (火) 01:23 (UTC)}}
'''キュムラント母関数'''（{{lang-en-short|cumulant generating function}}, cgf）は、[[モーメント母関数]]の対数として定義される[[キュムラント]]の[[母関数]]。なお[[特性関数]]の対数として定義されるものは第2キュムラント母関数（{{lang-en-short|second characteristic function}}）とここでは呼ぶことにする。

== 定義 ==
確率変数 ''X'' のキュムラント母関数 ''K<sub>X</sub>''(''t'') は[[モーメント母関数]] ''M<sub>X</sub>''(''t'')を使用して次のように定義できる。

:<math>M_X(t) =  \exp{(K_X(t))}\,</math>

対数を使って変形すると
:<math>\begin{align}
K_X(t) &=  \log (M_X(t)) \\
       &=  \log (\mathrm{E}(e^{tX})) \\
       &=  \log \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \mu_n \right)
       &=& \log \left(  1 + t \mu_1     + \frac{t^2}{2!} \mu_2    + \dotsb \right) \\
       &=        \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \kappa_n
       &=&         0 + t \kappa_1  + \frac{t^2}{2!} \kappa_2 + \dotsb
\end{align}</math>
ここで、
:''μ''<sub>''n''</sub> は ''n'' 次のモーメント。
:''κ''<sub>''n''</sub> は ''n'' 次の[[キュムラント]]。

''n''次キュムラントは次のように与えられる。

:<math> \kappa_n = \frac{\partial^n}{\partial t^n}K_X(t)\biggr\vert_{t=0}
                 = \frac{\partial^n}{\partial t^n}\log{(M_X(t))}\biggr\vert_{t=0} 
</math>

== 第2キュムラント母関数 ==
第2キュムラント母関数 ''K<sub>X</sub>''(''t'') を[[特性関数]] ''ψ<sub>X</sub>''(''t'')の対数として次のように定義できる。

:<math>\begin{align}
K_X(t) &=  \log \varphi_X(t) \\
       &=  \log (\mathrm{E} (e^{itX})) \\
       &=  \log \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(it)^n}{n!} \mu_n \right) \\
       &=  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(it)^n}{n!} \kappa_n
\end{align}</math>

''n''次キュムラント ''κ<sub>n</sub>'' は次のように計算される。

:<math>\kappa_n=\frac{1}{i^n}\frac{\partial^n}{\partial t^n} K_X(t)\bigg|_{t=0}</math>

== キュムラント母関数の性質 ==
キュムラントの性質を利用することの利点として以下の性質がある。

* 独立な確率変数 ''X'' と ''Y'' の和のキュムラント母関数は、それぞれの確率変数のキュムラント母関数の和に等しい。

:<math>
\begin{align}
K_{X+Y}(t) & = \log(E(e^{t\cdot (X+Y)})) \\
           & = \log(E(e^{tX}) \cdot E(e^{tY})) \\
           & = \log(E(e^{tX})) + \log(E(e^{tY})) \\
           & = K_X(t) + K_Y(t).
\end{align}
</math>

== 参考文献 ==
* [https://books.google.co.jp/books?id=dCwLcyk8or8C&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&redir_esc=y&hl=ja Moment analysis for subsurface hydrologic applications], Rao S. Govindaraju, Bhabani S. Das, シュプリンガー・ジャパン株式会社, 2007, pp.17-18
* [https://books.google.co.jp/books?id=bLwRX4S676QC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&redir_esc=y&hl=ja Linear model theory: univariate, multivariate, and mixed models], Keith E. Muller, Paul Wilder Stewart, John Wiley and Sons, 2006, pp.124-125

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[モーメント母関数]]

{{Statistics-stub}}
{{DEFAULTSORT:きゆむらんとほかんすう}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:統計量]]
[[Category:数学に関する記事]]