ギブンス回転のソースを表示


'''ギブンス回転'''（ギブンスかいてん、{{lang-en-short|Givens rotation}}）あるいは'''ギブンス変換'''とは、[[行列]]

:<math>\boldsymbol{G}(i, k, \theta) = 
       \begin{bmatrix}   1   & \cdots &    0   & \cdots &    0   & \cdots &    0   \\
                      \vdots & \ddots & \vdots &        & \vdots &        & \vdots \\
                         0   & \cdots &  \cos \theta    & \cdots &  \sin \theta    & \cdots &    0   \\
                      \vdots &        & \vdots & \ddots & \vdots &        & \vdots \\
                         0   & \cdots &  -\sin \theta   & \cdots &  \cos \theta    & \cdots &    0   \\
                      \vdots &        & \vdots &        & \vdots & \ddots & \vdots \\
                         0   & \cdots &    0   & \cdots &    0   & \cdots &    1
       \end{bmatrix}</math>

による[[線型写像|線型変換]]である。ここで、sin ''&theta;''は、''i'' 行 ''k'' 列、''k'' 行 ''i'' 列、cos ''&theta;''は、''i'' 行 ''i'' 列、''k'' 行 ''k'' 列に出現する。行列 '''''G'''''(''i'', ''k'', &theta;) は[[行列式]]が 1 の[[直交行列]]であり、(''i'', ''k'') 平面での回転を表す。ギブンス回転の名はアメリカの数学者[[ウォレス・ギヴンス]]に由来する。

定義をより厳密に書けば、

:<math>\boldsymbol{G}(i, k, \theta)_{j, \ell} = \begin{cases} \cos\theta & \mbox{ if } j = i, \ell = i \mbox{ or } j = k, \ell = k, \\
                                                      \sin\theta & \mbox{ if } j = i, \ell = k, \\
                                                     -\sin\theta & \mbox{ if } j = k, \ell = i, \\
                                                      1          & \mbox{ if } j = \ell, \\
                                                      0          & \mbox{ otherwise.}
       \end{cases}</math>

である。

積 <math>\boldsymbol{G}(i, k, \theta)^{\intercal} \boldsymbol{x}</math> は、ベクトル '''''x''''' を (''i'', ''k'') 平面で ''&theta;''ラジアン反時計回りに回転したベクトルである。

線型代数におけるギブンス回転の主な使用法は、[[行列の相似|相似変換]]により行列に0の要素を増やすことである。この効果はたとえば行列の[[QR分解]]の計算に採用される。[[ハウスホルダー変換]]に対する利点は容易に並列化できることと、多くの疎行列に対して演算回数が少なくてすむということである。
==参考文献==
{{参照方法|date=2023年9月}}
===英文===
* Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9.
* Bindel, D.; Demmel, J.; Kahan, W.; Marques, O. (2000), On Computing Givens rotations reliably and efficiently. LAPACK Working Note 148, University of Tennessee, UT-CS-00-449, January 31, 2001.
===和文===
* 山本哲朗『数値解析入門』[[サイエンス社]]〈サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14〉、2003年6月、増訂版。ISBN 4-7819-1038-6。
* [[森正武]]. 数値解析 第2版. [[共立出版]].
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[[Category:数値線形代数]]
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