ギブンス回転

ギブンス回転（ギブンスかいてん、テンプレート:Lang-en-short）あるいはギブンス変換とは、行列

$𝑮(i,k,\theta )=\left[\begin{array}{ccccccc}1& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & \cos \theta & \cdots & \sin \theta & \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & -\sin \theta & \cdots & \cos \theta & \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

による線型変換である。ここで、sin θは、i 行 k 列、k 行 i 列、cos θは、i 行 i 列、k 行 k 列に出現する。行列 G(i, k, θ) は行列式が 1 の直交行列であり、(i, k) 平面での回転を表す。ギブンス回転の名はアメリカの数学者ウォレス・ギヴンスに由来する。

定義をより厳密に書けば、

$𝑮(i,k,\theta {)}_{j,\ell }=\{\begin{array}{cc}\cos \theta & \text{ if }j=i,\ell =i\text{ or }j=k,\ell =k,\\ \sin \theta & \text{ if }j=i,\ell =k,\\ -\sin \theta & \text{ if }j=k,\ell =i,\\ 1& \text{ if }j=\ell ,\\ 0& \text{ otherwise.}\end{array}$

である。

積 $𝑮(i,k,\theta {)}^{⊺}𝒙$ は、ベクトル x を (i, k) 平面で θラジアン反時計回りに回転したベクトルである。

線型代数におけるギブンス回転の主な使用法は、相似変換により行列に0の要素を増やすことである。この効果はたとえば行列のQR分解の計算に採用される。ハウスホルダー変換に対する利点は容易に並列化できることと、多くの疎行列に対して演算回数が少なくてすむということである。

参考文献

英文

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9.
• Bindel, D.; Demmel, J.; Kahan, W.; Marques, O. (2000), On Computing Givens rotations reliably and efficiently. LAPACK Working Note 148, University of Tennessee, UT-CS-00-449, January 31, 2001.

和文

• 山本哲朗『数値解析入門』サイエンス社〈サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14〉、2003年6月、増訂版。ISBN 4-7819-1038-6。
• 森正武. 数値解析 第2版. 共立出版.