クラウゼン関数のソースを表示

[[ファイル:Mplwp_Clausen.svg|サムネイル|クラウゼン関数{{Math|Cl{{sub|2}}(''θ'')}}のグラフ ]]
'''クラウゼン関数'''（クラウゼンかんすう、{{Lang-en-short|Clausen function}}）は、[[トーマス・クラウゼン (数学者)|トーマス・クラウゼン]]によって導入された[[超越数|超越的]]な単一[[変数 (数学)|変数]]の[[関数 (数学)|関数]]である。[[定積分]]、{{仮リンク|三角級数|en|Trigonometric series}}などによっても表現される。[[多重対数関数]] 、{{仮リンク|逆正接積分|en|inverse tangent integral}}、[[ポリガンマ関数]]、[[リーマンゼータ関数]]、[[ディリクレベータ関数]]などと深い関わりがある。

'''オーダー2のクラウゼン関数''':単にクラウゼン関数とも呼ばれることもある。次の式で与えられる。

: <math>\operatorname{Cl}_2(\varphi)=-\int_0^\varphi \log\left|2\sin\frac{x}{2} \right|\, dx:</math>

範囲<math>0 < \varphi < 2\pi\, </math>では式中の[[正弦関数]]は[[正の数と負の数|正]]の値を取るから、[[絶対値]]は無視しても良い。クラウゼン関数はまた、[[フーリエ級数]]を用いて次のようにも表せる。

: <math>\operatorname{Cl}_2(\varphi)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\varphi}{k^2} = \sin\varphi +\frac{\sin 2\varphi}{2^2}+\frac{\sin 3\varphi}{3^2}+\frac{\sin 4\varphi}{4^2}+ \cdots </math>

クラウゼン関数は、関数の一つとして現代の様々な分野で研究されている。特に、[[対数積分]]や[[多重対数積分]]の評価に用いられる。また[[超幾何関数]]の和や[[中心二項係数]]の[[逆数]]に関連する和、[[ポリガンマ関数]]の和、[[ディリクレのL関数]]にも応用される。

== 基本的な性質 ==
<math>k\in \mathbb{Z} \, </math>において<math>\sin k\pi=0</math>であるから、（オーダー2の）クラウゼン関数は、<math>\pi</math>の[[整数]]倍で[[0]]を取る。

: <math>\operatorname{Cl}_2(m\pi) =0, \quad m= 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \cdots </math>

また <math>\theta = \frac{\pi}{3}+2m\pi \quad[m\in\mathbb{Z}]</math>で[[最大値]]を取る。

: <math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}+2m\pi \right) =1.01494160 \ldots </math>

<math>\theta = -\frac{\pi}{3}+2m\pi \quad[m\in\mathbb{Z}]</math>で[[最小値]]をとる。

: <math>\operatorname{Cl}_2\left(-\frac{\pi}{3}+2m\pi \right) =-1.01494160 \ldots </math>

次の式の成立は、関数の定義より直ちに示される。

: <math>\operatorname{Cl}_2(\theta+2m\pi) = \operatorname{Cl}_2(\theta) </math>
: <math>\operatorname{Cl}_2(-\theta) = -\operatorname{Cl}_2(\theta) </math>

詳しくは {{Harvtxt|Lu|Perez|1992}}を見よ。

== 一般的な定義 ==
{{multiple image|width1=220|header=|image1=Mplwp Standard Clausen.svg|caption1=一般クラウゼン関数|width2=220|image2=Mplwp Glaisher-Clausen.svg|caption2=グレーシャー–クラウゼン関数}}
より一般に、クラウゼン関数は2つの一般化がある。

: <math>\operatorname{S}_z(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta}{k^z}</math>
: <math>\operatorname{C}_z(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta}{k^z}</math>

ここで、定数zは[[実部]]が1より大きい[[複素数]]である。この定義は[[解析接続]]によって[[複素平面]]上に拡張できる。

''z'' を[[非負整数]]に置き換えて、[[フーリエ級数]]を用いて、一般クラウゼン関数（{{Lang|en|standard Clausen functions}}）は次のように定義される。

: <math>\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}</math>
: <math>\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}</math>
: <math>\operatorname{Sl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}</math>
: <math>\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}</math>

SLのクラウゼン関数は、グレーシャー–クラウゼン関数<math>\operatorname{Gl}_m(\theta)\, </math>（{{Lang|en|Glaisher–Clausen functions}}、[[ジェームズ・ウィットブレッド・リー・グレイシャー|ジェームズ・ウィットブレッドリー・グレーシャー]]の名を冠する）と言われる場合もある。

== ベルヌーイ多項式との関係 ==
'''SL-type Clausen function''' は<math>\, \theta\, </math>の多項式で[[ベルヌーイ多項式]]と近い関係を持つ。これは、 ベルヌーイ多項式の[[フーリエ級数]]による表示より明らかである。

: <math>B_{2n-1}(x)=\frac{2(-1)^n(2n-1)!}{(2\pi)^{2n-1}} \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}.</math>
: <math>B_{2n}(x)=\frac{2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi)^{2n}} \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos 2\pi kx}{k^{2n}}.</math>

<math>\, x= \theta/2\pi \, </math>を代入して、項を並べ替えると次のような表示が得られる。

: <math>\operatorname{Sl}_{2m}(\theta) = \frac{(-1)^{m-1}(2\pi)^{2m}}{2(2m)!} B_{2m}\left(\frac{\theta}{2\pi}\right),</math>
: <math>\operatorname{Sl}_{2m-1}(\theta) = \frac{(-1)^{m}(2\pi)^{2m-1}}{2(2m-1)!} B_{2m-1}\left(\frac{\theta}{2\pi}\right), </math>

ここで[[ベルヌーイ多項式]]<math>\, B_n(x)\,</math>は[[ベルヌーイ数]]<math>\, B_n \equiv B_n(0)\, </math>を用いて次のように定義される。

: <math>B_n(x)=\sum_{j=0}^n\binom{n}{j} B_jx^{n-j}.</math>

以上の式から分かるSLタイプのクラウゼン関数の評価は次の通り。

: <math> \operatorname{Sl}_1(\theta)= \frac{\pi}{2}-\frac \theta 2, </math>
: <math> \operatorname{Sl}_2(\theta)= \frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi\theta} 2 +\frac{\theta^2}{4},  </math>
: <math> \operatorname{Sl}_3(\theta)= \frac{\pi^2\theta}{6} -\frac{\pi\theta^2}{4}+\frac{\theta^3}{12},  </math>
: <math> \operatorname{Sl}_4(\theta)= \frac{\pi^4}{90}-\frac{\pi^2\theta^2}{12}+\frac{\pi\theta^3}{12}-\frac{\theta^4}{48}. </math>

== 倍角の公式 ==
<math> 0 < \theta < \pi </math>において、クラウゼン関数の倍角の公式は積分の結果から直接証明できる。{{Harvtxt|Lu|Perez|1992}}では証明なしに使われている。

: <math>\operatorname{Cl}_2(2\theta) = 2\operatorname{Cl}_2(\theta) - 2\operatorname{Cl}_2(\pi-\theta) </math>

[[カタランの定数]]<math>K=\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)</math>を用いれば、次のような関係も成り立つ。

: <math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{4}\right)- \operatorname{Cl}_2 \left(\frac{3\pi} 4\right)=\frac K 2</math>
: <math>2\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}\right)= 3\operatorname{Cl}_2 \left(\frac{2\pi} 3\right)</math>

より高次のクラウゼン関数の倍角公式も、上記の式で変数<math> \, \theta \, </math>を他のダミーの変数<math>x</math>に置き換えて、<math> \, [0, \theta] </math>の範囲で積分をして求めることができる。 

: <math>\operatorname{Cl}_3(2\theta) = 4\operatorname{Cl}_3(\theta) + 4\operatorname{Cl}_3(\pi-\theta) </math>
: <math>\operatorname{Cl}_4(2\theta) = 8\operatorname{Cl}_4(\theta) - 8\operatorname{Cl}_4(\pi-\theta) </math>
: <math>\operatorname{Cl}_5(2\theta) = 16\operatorname{Cl}_5(\theta) + 16 \operatorname{Cl}_5(\pi-\theta) </math>
: <math>\operatorname{Cl}_6(2\theta) = 32\operatorname{Cl}_6(\theta) - 32 \operatorname{Cl}_6(\pi-\theta) </math>

より一般には<math>\, m, \; m \ge 1 </math>について

: <math>\operatorname{Cl}_{m+1}(2\theta) = 2^m\left[\operatorname{Cl}_{m+1}(\theta) + (-1)^m \operatorname{Cl}_{m+1}(\pi-\theta) \right]</math>

一般の倍角公式を用いて、オーダー2の場合のカタランの定数に関わる式も一般化できる。 <math>\, m \in \mathbb{Z} \ge 1\, </math>において、

: <math>\operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac \pi 2 \right) = 2^{2m-1} \left[\operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{4}\right)- \operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right] = \beta(2m)</math>

<math>\, \beta(x) \, </math>は[[ディリクレベータ関数]]。

== 倍角の公式の証明 ==
定義より、

: <math>\operatorname{Cl}_2(2\theta)=-\int_0^{2\theta} \log\left| 2 \sin \frac{x}{2} \right| \,dx</math>

[[正弦関数]]の倍角の公式<math>\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}</math>を用いて、

: <math>
\begin{align}
& -\int_0^{2\theta} \log\left| \left(2 \sin \frac{x}{4} \right)\left(2 \cos \frac{x}{4}  \right) \right| \,dx \\
= {} & -\int_0^{2\theta} \log\left| 2 \sin \frac{x}{4} \right| \,dx -\int_0^{2\theta} \log\left| 2 \cos \frac{x}{4} \right| \,dx
\end{align}
</math>

<math>x=2y, dx=2\, dy</math>のように、変数を置換して、

: <math>
\begin{align}
& -2\int_0^\theta \log\left| 2 \sin \frac{x}{2} \right| \,dx -2\int_0^\theta \log\left| 2 \cos \frac{x}{2} \right| \,dx \\
= {} & 2\, \operatorname{Cl}_2(\theta) -2\int_0^\theta  \log\left| 2 \cos \frac{x}{2} \right| \,dx
\end{align}
</math>

最後に<math>y=\pi-x, \, x= \pi-y, \, dx = -dy</math>と置換して[[余弦関数]]の[[加法定理]]<math>\cos(x-y)=\cos x\cos y - \sin x\sin y</math>を用いれば、

: <math>
\begin{align}
& \cos\left(\frac{\pi-y}{2}\right) = \sin \frac{y}{2} \\
\Longrightarrow \qquad & \operatorname{Cl}_2(2\theta)=2\, \operatorname{Cl}_2(\theta) -2\int_0^\theta  \log\left| 2 \cos \frac{x}{2} \right| \,dx \\
= {} & 2\, \operatorname{Cl}_2(\theta) +2\int_{\pi}^{\pi-\theta} \log\left| 2 \sin \frac{y}{2} \right| \,dy \\
= {} & 2\, \operatorname{Cl}_2(\theta) -2\, \operatorname{Cl}_2(\pi-\theta) + 2\, \operatorname{Cl}_2(\pi)
\end{align}
</math>

となる。

: <math>\operatorname{Cl}_2(\pi) = 0 \, </math>

であるから、

: <math>\operatorname{Cl}_2(2\theta)=2\, \operatorname{Cl}_2(\theta)-2\, \operatorname{Cl}_2(\pi-\theta)\, . \, \Box </math>

== 派生 ==
クラウゼン関数の[[フーリエ級数|フーリエ級数展開]]表示の[[微分]]によって次の式の成立が分かる。

: <math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}=\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta)</math>
: <math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}=-\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m}}=-\operatorname{Cl}_{2m}(\theta)</math>
: <math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Sl}_{2m+2}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}= -\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}=-\operatorname{Sl}_{2m+1} (\theta)</math>
: <math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m}}=\operatorname{Sl}_{2m} (\theta)</math>

[[微分積分学の基本定理]]を使えば、次のようにも表現できる。

: <math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_2(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left[ -\int_0^\theta  \log \left| 2\sin \frac{x}{2}\right| \,dx \, \right] = - \log \left| 2\sin \frac{\theta}{2}\right| = \operatorname{Cl}_1(\theta) </math>

== 逆正接積分との関係 ==
{{仮リンク|逆正接積分|en|inverse tangent integral}}は、<math>0 < z < 1</math>において、次のように定義される。

: <math>\operatorname{Ti}_2(z)=\int_0^z \frac{\tan^{-1}x}{x}\,dx = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^2}</math>

クラウゼン関数との関係は次のようになる。

: <math>\operatorname{Ti}_2(\tan \theta)= \theta\log(\tan \theta) + \frac{1}{2} \operatorname{Cl}_2(2\theta) +\frac{1}{2}\operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta)</math>

== 逆正接積分との関係の証明 ==
{{仮リンク|逆正接積分|en|inverse tangent integral}}の定義より、

: <math>\operatorname{Ti}_2(\tan \theta) = \int_0^{\tan \theta}\frac{\tan^{-1}x}{x}\,dx</math>

: <math> \int_0^{\tan \theta} \frac{\tan^{-1}x}{x}\,dx=\bigg[ \tan^{-1}x\log x \, \Bigg]_0^{\tan \theta} - \int_0^{\tan \theta} \frac{\log x}{1+x^2}\,dx=</math>
: <math>\theta \log \tan \theta - \int_0^{\tan \theta}\frac{\log x}{1+x^2}\,dx</math>

<math>x=\tan y,\, y=\tan^{-1}x,\, dy=\frac{dx}{1+x^2}\,</math>を置換して、

: <math>\theta \log \tan \theta - \int_0^\theta \log(\tan y)\,dy</math>

<math>y=x/2,\, dy=dx/2\,</math>を置換して、

: <math>
\begin{align}
& \theta \log \tan \theta - \frac 1 2 \int_0^{2\theta}\log\left(\tan \frac x 2 \right)\,dx \\[6pt]
= {} & \theta \log \tan \theta - \frac{1}{2}\int_0^{2\theta}\log\left(\frac{\sin (x/2) }{\cos (x/2)}\right)\,dx \\[6pt]
= {} & \theta \log \tan \theta - \frac{1}{2}\int_0^{2\theta}\log\left(\frac{2\sin (x/2) }{2\cos (x/2)}\right)\,dx \\[6pt]
= {} & \theta \log \tan \theta - \frac{1}{2}\int_0^{2\theta}\log\left(2\sin \frac{x}{2} \right)\,dx+ \frac{1}{2}\int_0^{2\theta}\log\left(2\cos \frac{x}{2}\right)\,dx \\[6pt]
= {} & \theta \log \tan \theta +\frac{1}{2}\operatorname{Cl}_2(2\theta)+ \frac{1}{2} \int_0^{2\theta} \log\left(2\cos \frac{x}{2}\right)\,dx.
\end{align}
</math>

倍角公式の証明のように<math>x=(\pi-y)\, </math>と置換すれば、

: <math>\int_0^{2\theta}\log\left(2\cos \frac{x}{2}\right)\,dx= \operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta) - \operatorname{Cl}_2(\pi) = \operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta)</math>

したがって、

: <math>\operatorname{Ti}_2(\tan \theta) = \theta \log \tan \theta +\frac{1}{2}\operatorname{Cl}_2(2\theta)+ \frac{1}{2} \operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta)\, . \, \Box </math>

== バーンズのG関数との関係 ==
実数<math>0 < z < 1</math>について、オーダー2のクラウゼン関数は、[[バーンズのG関数]]と[[ガンマ関数]]で書くことができる。

: <math>\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(1+z)} \right) +2\pi z \log \left( \frac{\pi}{ \sin \pi z } \right) </math>

または、

<math>\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(z)} \right) -2\pi  \log \Gamma(z)+2\pi z \log \left( \frac{\pi}{ \sin \pi z } \right) </math>

詳しくは{{Harvtxt|Adamchik|2003}}を見よ。

== 多重対数関数との関係 ==
クラウゼン関数は[[単位円]]上の[[多重対数関数]]の実部と虚部を表す。

: <math>\operatorname{Cl}_{2m}(\theta) = \Im (\operatorname{Li}_{2m}(e^{i \theta})), \quad m\in\mathbb{Z} \ge 1</math>
: <math>\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta) = \Re (\operatorname{Li}_{2m+1}(e^{i \theta})), \quad m\in\mathbb{Z} \ge 0</math>

これは、多重対数関数の級数による定義より簡単に示される。

: <math>\operatorname{Li}_n(z)=\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^n} \quad \Longrightarrow  \operatorname{Li}_n\left(e^{i\theta}\right)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\left(e^{i\theta}\right)^k}{k^n}= \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{ik\theta}}{k^n}</math>

[[オイラーの公式|オイラーの定理]]より、

: <math>e^{i\theta} = \cos \theta +i\sin \theta</math>

さらに[[ド・モアブルの定理]]より、

: <math>(\cos \theta +i\sin \theta)^k= \cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname{Li}_n\left(e^{i\theta}\right)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta}{k^n}+ i \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta}{k^n}</math>

したがって、

: <math>\operatorname{Li}_{2m}\left(e^{i\theta}\right)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta}{k^{2m}}+ i \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta}{k^{2m}} = \operatorname{Sl}_{2m}(\theta)+i\operatorname{Cl}_{2m}(\theta)</math>
: <math>\operatorname{Li}_{2m+1}\left(e^{i\theta}\right)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta}{k^{2m+1}}+ i \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta}{k^{2m+1}} = \operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta)+i\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta)</math>

== ポリガンマ関数との関係 ==
クラウゼン関数は正弦関数と[[ポリガンマ関数]]の[[線型結合]]によってあらわすことができる。

: <math>\operatorname{Cl}_{2m}\left( \frac{q\pi}{p}\right)= \frac{1}{(2p)^{2m}(2m-1)!} \, \sum_{j=1}^{p} \sin\left(\tfrac{qj\pi}{p}\right)\, \left[\psi_{2m-1}\left(\tfrac{j}{2p}\right)+(-1)^q\psi_{2m-1}\left(\tfrac{j+p}{2p}\right)\right].  </math>

この系に、[[フルヴィッツのゼータ函数|フルヴィッツのゼータ関数]]との関係式もある。

: <math>\operatorname{Cl}_{2m}\left( \frac{q\pi}{p}\right)= \frac{1}{(2p)^{2m}} \, \sum_{j=1}^{p} \sin\left(\tfrac{qj\pi}{p}\right)\, \left[\zeta\left(2m,\tfrac{j}{2p}\right)+(-1)^q \zeta\left(2m,\tfrac{j+p}{2p}\right)\right].  </math>
{{Collapse top|title=証明}}
<math>\,p\,</math>,<math>\,q\,</math> を<math>\,0 < q/p < 1\, </math>を満たす正整数として、偶数のクラウゼン関数は次のように書ける。

:<math>\operatorname{Cl}_{2m}\left( \frac{q\pi}{p}\right)= \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin (kq\pi/p)}{k^{2m}} </math>

この式を、'''m'''番目の式が<math>\,kp+m\, </math>と合同になるように'''p'''個の部分の和に分ける。

:<math>
\begin{align}
& \operatorname{Cl}_{2m}\left( \frac{q\pi}{p}\right) \\
= {} & \sum_{k=0}^\infty \frac{\sin \left[(kp+1)\frac{q\pi}{p}\right]}{(kp+1)^{2m}} + \sum_{k=0}^\infty \frac{\sin \left[(kp+2)\frac{q\pi}{p}\right]}{(kp+2)^{2m}} +
\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin \left[(kp+3)\frac{q\pi}{p}\right]}{(kp+3)^{2m}} + \cdots \\
& \cdots + \sum_{k=0}^\infty \frac{\sin \left[(kp+p-2)\frac{q\pi}{p}\right]}{(kp+p-2)^{2m}} + \sum_{k=0}^\infty \frac{\sin \left[(kp+p-1)\frac{q\pi}{p}\right]}{(kp+p-1)^{2m}} +
\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin \left[(kp+p)\frac{q\pi}{p}\right]}{(kp+p)^{2m}}
\end{align}
</math>

二重和を用いて次のように書ける。

:<math>
\begin{align}
& \operatorname{Cl}_{2m}\left( \frac{q\pi}{p}\right)= \sum_{j=1}^{p} \left\{ \sum_{k=0}^\infty \frac{\sin \left[(kp+j)\frac{q\pi}{p}\right]}{(kp+j)^{2m}} \right\} \\
= {} & \sum_{j=1}^{p} \frac{1}{p^{2m}}\left\{ \sum_{k=0}^\infty \frac{\sin \left[(kp+j)\frac{q\pi}{p}\right]}{(k+(j/p))^{2m}} \right\}
\end{align}
</math>

[[正弦関数]]の加法定理<math>\,\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\, </math>の応用

:<math>\sin \left[(kp+j)\frac{q\pi}{p}\right]=\sin\left(kq\pi+\frac{qj\pi}{p}\right)=\sin kq\pi \cos \frac{qj\pi}{p}+\cos kq\pi \sin\frac{qj\pi}{p}</math>
:<math>\sin m\pi \equiv 0, \quad \, \cos m\pi \equiv (-1)^m \quad \Longleftrightarrow m=0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots </math>
:<math>\sin \left[(kp+j)\frac{q\pi}{p}\right]=(-1)^{kq}\sin\frac{qj\pi}{p}</math>

を適応して、

:<math>\operatorname{Cl}_{2m}\left( \frac{q\pi}{p}\right)= \sum_{j=1}^p \frac{1}{p^{2m}} \sin\left(\frac{qj\pi}{p}\right)\, \left\{ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}} \right\}  </math>

内側の総和を非交代和に変形するために、上部で式を'''p'''個の部分に分けたようにして、式を2つの部分に分ける。

:<math>
\begin{align}
& \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{(2k)q}}{((2k)+(j/p))^{2m}}+ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{(2k+1)q}}{((2k+1)+(j/p))^{2m}} \\
= {} & \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+(j/p))^{2m}}+ (-1)^q\, \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1+(j/p))^{2m}} \\
= {} & \frac{1}{2^p}\left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+(j/2p))^{2m}}+ (-1)^q\, \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+\left(\frac{j+p}{2p}\right))^{2m}} \right]
\end{align}
</math>

<math>\,m \in\mathbb{Z} \ge 1\, </math>において、[[ポリガンマ関数]]は次のように展開される。

:<math>\psi_m(z)=(-1)^{m+1}m! \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+z)^{m+1}} </math>

故に、内側の総和は次のように変形される。

: <math> \frac{1}{2^{2m}(2m-1)!} \left[\psi_{2m-1}\left(\tfrac{j}{2p}\right)+(-1)^q\psi_{2m-1} \left(\tfrac{j+p}{2p}\right)\right] </math>

これを元の二重和に代入して、元の式を得る。

:<math>\operatorname{Cl}_{2m}\left( \frac{q\pi}{p}\right)= \frac{1}{(2p)^{2m}(2m-1)!} \, \sum_{j=1}^{p} \sin\left(\tfrac{qj\pi}{p}\right)\, \left[\psi_{2m-1}\left(\tfrac{j}{2p}\right)+(-1)^q\psi_{2m-1}\left(\tfrac{j+p}{2p}\right)\right]  </math>

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== 一般化対数正弦積分との関係 ==
一般化された[[対数正弦積分]]は次のように定義される。

: <math>\mathcal{L}s_n^{m}(\theta) = -\int_0^\theta  x^m \log^{n-m-1} \left| 2\sin\frac{x}{2} \right| \, dx</math>

クラウゼン関数は一般化対数正弦積分の一種である。つまり、

: <math>\operatorname{Cl}_2(\theta) = \mathcal{L}s_2^{0}(\theta) </math>

== クンマーの関係 ==
[[エルンスト・クンマー]]とロジャースは次の式を発見した。<math>0\leq \theta \leq 2\pi</math>について、

: <math>\operatorname{Li}_2(e^{i \theta}) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta)/4 + i\operatorname{Cl}_2(\theta)</math>

== ロバチェフスキー関数との関係 ==
[[ロバチェフスキー関数]]&#x39B;（またはЛ）は本質的には、[[変数 (数学)|変数]]を変えただけで、クラウゼン関数と同義である。

: <math>\Lambda(\theta) = - \int_0^\theta \log|2 \sin(t)| \,dt = \operatorname{Cl}_2(2\theta)/2</math>

ただし、ロバチェフスキー関数という名はあまり正確でない。というのも、[[ロバチェフスキー]]は[[双曲体積]]の公式において、わずかに異なる関数を用いている。

: <math>\int_0^\theta \log| \sec(t)| \,dt = \Lambda(\theta+\pi/2)+\theta\log 2.</math>

== ディリクレのL関数との関係 ==
有理数値<math>\theta/\pi</math>において、 <math>\sin(n\theta)</math>は[[巡回群]]における元の周期軌道として捉えられている。故にクラウゼン関数<math>\operatorname{Cl}_s(\theta)</math>は[[フルヴィッツのゼータ函数]]に関連する和として表現できる{{要出典|date=July 2013}}。これは、[[ディリクレのL関数]]の特殊な値の計算を簡易にする。

== 加速度 ==
クラウゼン関数の[[数列の加速法|加速度]]は次のように与えられる。<math>|\theta|<2\pi</math>において、

: <math>\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)} \theta = 
1-\log|\theta| + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac \theta {2\pi}\right)^{2n}
</math>

ここで、 <math>\zeta(s)</math>は[[リーマンゼータ関数]]。より早く収束する形は次のように表現される。

: <math>\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 
3-\log\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right]
-\frac{2\pi}{\theta} \log \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right) 
+\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{2n}.
</math>

収束は、nが大きくとき<math>\zeta(n)-1</math>が急速に0に近づくことより説明できる。両方の形は、{{仮リンク|有理ゼータ級数|en|Rational zeta series}}を求める際の再足し上げの技法で得られる{{Harv|Borwein et al.|2000}}。

== 特別な値 ==
[[バーンズのG関数]]をG、[[カタランの定数]]をK、[[ギーゼキング多様体|ギーゼキング定数]]を''Vとする。クラウゼン関数の特殊な値には、次のようなものがある。''

: <math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=K</math>
: <math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}\right)=V</math>
: <math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}\right)=3\pi \log\left( 
\frac{G\left(\frac{2}{3}\right)}{ G\left(\frac{1}{3}\right)} \right)-3\pi \log 
\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)+\pi \log \left(\frac{ 2\pi }{\sqrt{3}}\right)</math>
: <math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\pi \log\left( 
\frac{G\left(\frac{2}{3}\right)}{ G\left(\frac{1}{3}\right)} \right)-2\pi \log 
\Gamma\left(\frac{1}{3}\right) +\frac{2\pi}{3} \log \left(\frac{ 2\pi 
}{\sqrt{3}}\right)</math>
: <math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{4}\right)=
2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{7}{8}\right)}{G\left(\frac{1}{8}\right)} \right) -2\pi 
\log \Gamma\left(\frac{1}{8}\right)+\frac{\pi}{4}\log \left( \frac{2\pi}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} 
\right)</math>
: <math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{3\pi}{4}\right)=
2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{5}{8}\right)}{G\left(\frac{3}{8}\right)} \right) -2\pi 
\log \Gamma\left(\frac{3}{8}\right)+\frac{3\pi}{4}\log \left( \frac{2\pi}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} 
\right)</math>
: <math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{6}\right)=
2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{11}{12}\right)}{G\left(\frac{1}{12}\right)} \right) -2\pi 
\log \Gamma\left(\frac{1}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\log \left( \frac{2\pi \sqrt{2} 
}{\sqrt{3}-1} \right)</math>
: <math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{5\pi}{6}\right)=
2\pi\log \left( \frac{G\left(\frac{7}{12}\right)}{G\left(\frac{5}{12}\right)} \right) -2\pi 
\log \Gamma\left(\frac{5}{12}\right)+\frac{5\pi}{6}\log \left( \frac{2\pi \sqrt{2} 
}{\sqrt{3}+1} \right)</math>

一般には[[バーンズのG関数]]を用いて、

: <math> \operatorname{Cl}_2(2\pi z)=2\pi\log\left( \frac{G(1-z)}{G(z)} \right)-2\pi\log\Gamma(z)+2\pi z\log\left(\frac{\pi}{\sin\pi z}\right) </math>

オイラーの{{仮リンク|反射公式|en|Reflection formula|label=相反公式}}を使えば、

: <math> \operatorname{Cl}_2(2\pi z)=2\pi\log\left( \frac{G(1-z)}{G(z)} \right)-2\pi\log\Gamma(z)+2\pi z\log\big(\Gamma(z)\Gamma(1 - z)\big) </math>

== 一般の特別な値 ==
高次のクラウゼン関数の特殊な値には次のようなものがある。

: <math>\operatorname{Cl}_{2m}(0)=\operatorname{Cl}_{2m}(\pi) = \operatorname{Cl}_{2m}(2\pi)=0</math>
: <math>\operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\beta(2m)</math>
: <math>\operatorname{Cl}_{2m+1}(0)=\operatorname{Cl}_{2m+1}(2\pi)=\zeta(2m+1)</math>
: <math>\operatorname{Cl}_{2m+1}(\pi)=-\eta(2m+1)=-\left(\frac{2^{2m}-1}{2^{2m}}\right) \zeta(2m+1)</math>
: <math>\operatorname{Cl}_{2m+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2^{2m+1}}\eta(2m+1)=-\left(\frac{2^{2m}-1}{2^{4m+1}}\right)\zeta(2m+1)</math>

ここで<math>\beta(x)</math>は[[ディリクレベータ関数]]、<math>\eta(x)</math>は{{仮リンク|ディリクレのイータ関数|en|Dirichlet eta function}}、<math>\zeta(x)</math>は[[リーマンゼータ関数]]。

== 積分 ==
クラウゼン関数を直接積分した値は簡単に証明できる。

: <math>\int_0^\theta \operatorname{Cl}_{2m}(x)\,dx=\zeta(2m+1)-\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta)</math>
: <math>\int_0^\theta \operatorname{Cl}_{2m+1}(x)\,dx=\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta)</math>
: <math>\int_0^\theta \operatorname{Sl}_{2m}(x)\,dx=\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta)</math>
: <math>\int_0^\theta \operatorname{Sl}_{2m+1}(x)\,dx=\zeta(2m+2)-\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta)</math>

[[フーリエ解析]]の手法を用いれば、<math>[0,\pi]</math>の範囲で、クラウゼン関数<math>\operatorname{Cl}_2(x)</math>の自乗の積分は次のように書ける<ref name="M">{{cite journal|last1=István|first1=Mező|year=2020|title=Log-sine integrals and alternating Euler sums|journal=[[Acta Mathematica Hungarica]]|issue=160|pages=45–57|doi=10.1007/s10474-019-00975-w}}</ref>。

: <math>\int_0^\pi \operatorname{Cl}_2^2(x)\,dx=\zeta(4),</math>
: <math>\int_0^\pi t\operatorname{Cl}_2^2(x)\,dx=\frac{221}{90720} \pi^{6}-4 \zeta(\overline{5}, 1)-2 \zeta(\overline{4}, 2),</math>
: <math>\int_0^\pi t^2\operatorname{Cl}_2^2(x)\,dx=-\frac{2}{3} \pi\left[12 \zeta(\overline{5}, 1)+6 \zeta(\overline{4}, 2)-\frac{23}{10080} \pi^{6}\right].</math>

<math>\zeta</math>は[[多重ゼータ値]]。

== 他の積分評価 ==
多くの三角関数や、対数三角関数の積分は、クラウゼン関数、[[カタランの定数]]<math>\, K \,</math>、<math>\, \log 2 \,</math>、[[ゼータ関数]]の特殊値<math> \zeta(2), \zeta(3) </math>を用いて表すことができる。

証明には、基礎的なものよりほんの少し難しい三角関数の積分と、クラウゼン関数の[[フーリエ級数]]表示の積分が必要とされる。

: <math>\int_0^\theta \log(\sin x)\,dx=-\tfrac{1}{2}\operatorname{Cl}_2(2\theta)-\theta\log 2</math>
: <math>\int_0^\theta \log(\cos x)\,dx=\tfrac{1}{2}\operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta)-\theta\log 2</math>
: <math>\int_0^\theta \log(\tan x)\,dx=-\tfrac{1}{2}\operatorname{Cl}_2(2\theta)-\tfrac{1}{2} \operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta)</math>
: <math>\int_0^\theta \log(1+\cos x)\,dx=2\operatorname{Cl}_2(\pi-\theta)-\theta\log 2</math>
: <math>\int_0^\theta \log(1-\cos x)\,dx=-2\operatorname{Cl}_2(\theta)-\theta\log 2</math>
: <math>\int_0^\theta \log(1+\sin x)\,dx=2K-2\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) -\theta\log 2</math>
: <math>\int_0^\theta \log(1-\sin x)\,dx=-2K+2\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\theta\log 2</math>

== 出典 ==
{{more footnotes|date=2024-8}}
{{Reflist}}

* {{Abramowitz Stegun ref|27.8|1005}}
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* Leonard Lewin, (Ed.). ''Structural Properties of Polylogarithms'' (1991)  American Mathematical Society, Providence, RI. {{ISBN2|0-8218-4532-2}}[[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/0-8218-4532-2|0-8218-4532-2]]
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* {{Cite journal|last=Borwein|first=Jonathan M.|author-link=Jonathan Borwein|last2=Bradley|first2=David M.|last3=Crandall|first3=Richard E.|year=2000|title=Computational Strategies for the Riemann Zeta Function|url=http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf|journal=J. Comput. Appl. Math.|volume=121|issue=1–2|pages=247–296|accessdate=2005-07-09|ref={{harvid|Borwein et al.|2000}}|bibcode=2000JCoAM.121..247B|doi=10.1016/s0377-0427(00)00336-8|MR=1780051}}
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* {{Cite journal|last=Kalmykov|first=Mikahil Yu.|last2=Sheplyakov|first2=A.|year=2005|title=LSJK – a C++ library for arbitrary-precision numeric evaluation of the generalized log-sine integral|journal=Comput. Phys. Commun.|volume=172|pages=45–59|arxiv=hep-ph/0411100|bibcode=2005CoPhC.172...45K|doi=10.1016/j.cpc.2005.04.013}}
* {{Cite news |first=Jonathan M. |last=Borwein |first2=Armin |author2=Straub |doi=10.1016/j.jat.2013.07.003 |newspaper=J. Approx. Theory |pages=74–88 |volume=193 |title=Relations for Nielsen Polylogarithms}}
* {{Cite arXiv|arxiv=1309.7504|class=math.NA|last=Mathar|first=R. J.|title=A C99 implementation of the Clausen sums}}
{{デフォルトソート:くらうせんかんすう}}
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