クラウチューク多項式のソースを表示

'''クラウチューク多項式'''（クラウチュークたこうしき、Kravchuk polynomial）とは、二項係数を用いて表される整数係数の[[直交多項式]]。

==定義==
素数冪（そすうべき） <math>q</math> に関する <math>n</math>次クラウチューク多項式とは、次で定義される関数 <math>\mathcal{K}_k:\{0,1,\ldots,n\} \to \mathbb{Z}</math> のことである：
{{Indent|<math> \mathcal{K}_k(x) = \sum_{j=0}^{k}(-1)^j (q-1)^{k-j} \binom {x}{j} \binom{n-x}{k-j}.</math>}}
ここで<math>k=0,1, \ldots, n</math>である。

== 直交性 ==
素数冪（そすうべき） <math>q</math> に関する <math>n</math>次クラウチューク多項式に関して以下がわかる：

　<math>\sum_{i=0}^n a_{i} \mathcal{K}_k(i)\mathcal{K}_{l}(i) = \begin{cases} 0 & k\ne l \\ a_kq^n & k=l\end{cases}</math>

ここで<math>a_i = \binom{n}{i}(q-1)^i </math>である。

== 母関数 ==
素数冪（そすうべき） <math>q</math> に関する <math>n</math>次クラウチューク多項式 <math>\mathcal{K}_k(x)</math> の母関数は以下のように書ける：

<math>(1+(q-1)z)^{n-x}(1-z)^x = \sum_{k=0}^\infty\mathcal{K}_k(x) {z^k}.</math>

== 参考文献 ==
*{{Citation | author=F. J. MacWilliams | coauthors=N. J. A. Sloane | title=The Theory of Error-Correcting Codes |  language=English | publisher=North-Holland | year=1977 | isbn=0-444-85193-3 | pages=150–153}}

{{デフォルトソート:くらうちゆうるたこうしき}}

== 外部リンク ==
https://mathworld.wolfram.com/KrawtchoukPolynomial.html

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