クラウチューク多項式

クラウチューク多項式（クラウチュークたこうしき、Kravchuk polynomial）とは、二項係数を用いて表される整数係数の直交多項式。

定義

素数冪（そすうべき） $q$ に関する $n$ 次クラウチューク多項式とは、次で定義される関数 $𝒦_{k} : {0, 1, \dots, n} \to ℤ$ のことである：テンプレート:Indent ここで $k = 0, 1, \dots, n$ である。

素数冪（そすうべき） $q$ に関する $n$ 次クラウチューク多項式に関して以下がわかる：

　 $\sum_{i = 0}^{n} a_{i} 𝒦_{k} (i) 𝒦_{l} (i) = {\begin{matrix} 0 & k \neq l \\ a_{k} q^{n} & k = l \end{matrix}$

ここで $a_{i} = (\binom{n}{i}) (q - 1)^{i}$ である。

素数冪（そすうべき） $q$ に関する $n$ 次クラウチューク多項式 $𝒦_{k} (x)$ の母関数は以下のように書ける：

$(1 + (q - 1) z)^{n - x} (1 - z)^{x} = \sum_{k = 0}^{\infty} 𝒦_{k} (x) z^{k} .$