クルル次元のソースを表示

[[ファイル:Krull,Wolfgang 1920 Göttingen.jpg|thumb|150px|ヴォルフガング・クルル]]
[[数学]]、とくに[[可換環論]]において[[可換環]]の'''クルル次元'''（クルルじげん、{{lang-en-short|''Krull dimension''}}）とは、[[素イデアル]]のなす減少列の長さの上限である。[[ヴォルフガング・クルル]]に因んで名づけられた。文脈から明らかなときには単に'''次元'''と呼ぶことも多い。

== 定義 ==
以下、[[環 (数学)|環]]はすべて[[可換環|可換]]とする。環 {{mvar|R}} における[[素イデアル]] <math>\mathfrak{p}</math> の'''高さ''' <math>\operatorname{ht}(\mathfrak{p})</math> とは、素イデアルのなす減少列
: <math>\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0\supsetneq \mathfrak{p}_1\supsetneq \dotsb \supsetneq \mathfrak{p}_n</math> 
の長さ {{mvar|n}} の[[上限 (数学)|上限]]として定義される{{sfn|Matsumura|1986|page={{google books quote|id=yJwNrABugDEC|page=30|30}}}}{{efn|素イデアルの数ではなく真の包含関係の数を数えていることに注意。}}。このとき環 {{mvar|R}} における素イデアルの高さの上限を'''クルル次元'''（あるいは単に'''次元'''）といい、{{math|dim(''R'')}} で表す。たとえば[[体 (数学)|体]] {{mvar|k}} 上の {{mvar|n}} 変数[[多項式環]] {{math|''k''[''X''<sub>1</sub>, &hellip;, ''X''<sub>''n''</sub>]}} は {{mvar|n}} 次元である{{sfn|Eisenbud|1995|loc={{google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=238|Corollary 10.13.a}}}}。

クルル次元は、[[ネーター環]]に対してさえ、有限とは限らない{{efn|イデアル包含列の一本一本が有限長でも、イデアルの包含関係全体は全順序とは限らないのだから、強引だがたとえば、どの自然数nに対しても長さnの素イデアル列が存在するような環を想像すれば、その環のクルル次元は無限となる}}{{sfn|Eisenbud|1995|loc={{google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=229|Exercise 9.6}}}}。
実際、[[永田雅宜|永田]]は「ネーター環でありながらもクルル次元が無限になるような環」の例を与えている<ref>https://stacks.math.columbia.edu/tag/02JC</ref><ref>https://math.stackexchange.com/questions/1109732/noetherian-ring-with-infinite-krull-dimension-nagatas-example</ref>{{Citation needed|date=October 2009}}。 さらに永田は、必ずしも全ての鎖が極大鎖に拡張できるわけではないような環の例も与えている<ref>Nagata, M. ''Local Rings'' (1962). Wiley, New York.</ref>。任意の素イデアル鎖を極大鎖に拡張することができるような環は[[鎖状環]]として知られる。

== 例 ==
=== 0次元 ===
* [[整域]]が体である必要十分条件は、0次元となることである。
* [[ネーター環]]が[[アルティン環]]である必要十分条件は、0次元となることである。

=== 1次元 ===
* [[有理整数環]] {{math|'''Z'''}} は1次元である。
* 体でない[[デデキント整域]]（たとえば[[単項イデアル整域]]や[[離散付値環]]など）は1次元である。

=== 高次元 ===
* 体 {{mvar|k}} 上の {{mvar|n}} 変数多項式環 {{math|''k''[''X''<sub>1</sub>, &hellip;, ''X''<sub>''n''</sub>]}} は {{mvar|n}} 次元である。[[スキーム論]]の言葉で言えば、体上の多項式環は[[アフィン空間]]に対応するから、この結果は基本的と考えることができる。一般に、環 {{mvar|R}} が {{mvar|n}} 次元の[[ネーター環]]ならば多項式環 {{math|''R''[''X'']}} は {{math|''n'' + 1}} 次元である{{sfn|Bourbaki|2006|loc={{google books quote|id=HadGAAAAQBAJ|page=PA34|Colloraire 3}}}}。ネーター性を仮定しないならば {{math|''R''[''X'']}} の次元は {{math|''n'' + 1}} 以上 {{math|2''n'' + 1}} 以下の任意の値を取りうる。 <!-- 不等式はSeidenberg.「任意」の部分は[Arnold-Gilmer, '74]? -->
* ネーター局所環は有限次元である。

== クルル次元とスキーム ==
{{mvar|R}} の素イデアル全体の成す空間に[[ザリスキー位相]]を備えた[[環のスペクトル]] {{math|Spec(''R'')}} の定義から直ちに、{{mvar|R}} のクルル次元がちょうどそのスペクトルの既約次元に一致することが分かる。このことは、{{mvar|R}} のイデアルと {{math|Spec(''R'')}} の閉部分集合との間の[[ガロア接続]]を考え、{{mvar|R}} の素イデアルをスペクトルの定義により（ガロア対応で対応付けられる）閉部分集合の生成点に対応させることを見ればよい。

== 加群のクルル次元 ==
環 {{mvar|R}} 上の加群 {{mvar|M}} に対し、{{mvar|M}} のクルル次元を、{{mvar|M}} を[[忠実加群]]とするような {{mvar|R}} の剰余環のクルル次元によって定める。すなわち、等式
: <math>\dim_R M := \dim R/\operatorname{Ann}_R(M)</math>
を満足するようなものとして定義する。ただし、[[零化イデアル]] {{math|Ann<sub>''R''</sub>(''M'')}} は {{mvar|R}} から {{mvar|M}} 上の {{mvar|R}}-線型[[自己準同型]]の環への自然写像 {{math|''R'' &rarr; End<sub>''R''</sub>(''M'')}} の[[核 (代数学)|核]]である。

スキーム論の言葉で言えば、有限型の加群は[[連接層]]あるいは一般化された有限階数[[ベクトル束]]として解釈することができる。

== 脚注 ==
=== 出典 ===
{{reflist|30em}}
=== 注釈 ===
{{notelist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|last1      = Bourbaki
|first1     = Nicolas
|year       = 2006
|title      = Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9
|series     = Éléments de mathématique
|url        = {{google books|HadGAAAAQBAJ|plainurl=yes}}
|publisher  = Springer
|isbn       = 978-3-540-33942-7
|mr         = 2284892
|ref        = harv
}}
* {{cite book
|last1      = Eisenbud
|first1     = David
|year       = 1995
|title      = Commutative algebra
|series     = Graduate Texts in Mathematics
|volume     = 150
|url        = {{google books|xDwmBQAAQBAJ|plainurl=yes}}
|publisher  = Springer-Verlag
|isbn       = 0-387-94268-8
|mr         = 1322960
|zbl        = 0819.13001 
|ref        = harv
}}
* [[アーヴィング・カプランスキ|Irving Kaplansky]], ''Commutative rings (revised ed.)'', [[University of Chicago Press]], 1974, ISBN 0-226-42454-5.  Page 32.
* A.I. Kostrikin and [[イゴール・シャファレビッチ|I.R. Shafarevich]] (edd), ''Algebra II'', Encyclopaedia of Mathematical Scieinces '''18''', [[シュプリンガー・フェアラーク|Springer-Verlag]], 1991, ISBN 3-540-18177-6.  Sect.4.7.
* {{cite book
|last1      = Matsumura
|first1     = Hideyuki
|year       = 1986
|title      = Commutative ring theory
|series     = Cambridge Studies in Advanced Mathematics
|volume     = 8
|url        = {{google books|yJwNrABugDEC|Commutative ring theory|plainurl=yes}}
|publisher  = Cambridge University Press
|isbn       = 0-521-36764-6
|mr         = 0879273
|zbl         = 0603.13001
|ref        = harv
}}

== 関連項目 ==
* [[次元論 (代数学)]]
* [[体上有限生成環の理論]]

{{デフォルトソート:くるるしけん}}
[[Category:可換環論]]
[[Category:次元]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]