クレインの条件のソースを表示

[[数学]]の[[解析学]]の分野における'''クレインの条件'''（クレインのじょうけん、{{Lang-en-short|Krein's condition}}）とは、指数関数の和
:<math> \left\{ \sum_{k=1}^n a_k \exp(i \lambda_k x), 
\quad  a_k \in \mathbb{C}, \, \lambda_k \geq 0 \right\},\, </math>
が実数直線上のある[[Lp空間|重み付き L<sub>2</sub> 空間]]において[[稠密]]であるための必要十分条件を与えるものである。[[マルク・クレイン]]によって1940年に発見された<ref>{{cite journal|last=Krein|first=M.G.|author-link=:en:Mark Krein|title=On  an  extrapolation  problem  due  to  Kolmogorov|journal=[[:en:Doklady Akademii Nauk SSSR|Doklady Akademii Nauk SSSR]]|volume= 46|year=1945|pages=306&ndash;309}}</ref>。他にもクレインの条件と呼ばれるある系（corollary）があり、こちらは{{仮リンク|モーメント問題|en|moment problem}}の不定性のための十分条件を与えるものである<ref>{{SpringerEOM|title=Krein condition|last=Stoyanov|first=J.|urlname=Krein_condition}}</ref><ref>{{cite journal|last=Berg|first=Ch.|title=Indeterminate moment problems and the theory of entire functions|doi=10.1016/0377-0427(95)00099-2|journal=J. Comput. Appl. Math.|volume=65|year=1995|pages=1&ndash;3, 27&ndash;55|mr=1379118}}</ref>。

== 内容 ==

''&mu;'' を、実数直線上のある[[絶対連続]]な[[測度]]で、d''&mu;''(''x'') = ''f''(''x'')&nbsp;d''x'' が満たされるものとする。指数関数の和

:<math> \sum_{k=1}^n a_k \exp(i \lambda_k x), 
\quad a_k \in \mathbb{C}, \, \lambda_k \geq 0 </math>

が ''L''<sub>2</sub>(''&mu;'') において稠密であるための必要十分条件は

:<math> \int_{-\infty}^\infty \frac{- \ln f(x)}{1 + x^2} \, dx = \infty </math>

が成立することである。

== モーメント問題の不定性 ==

''&mu;'' を上述のように定められる測度とする。''&mu;'' のすべての[[モーメント (数学)|モーメント]]

:<math> m_n = \int_{-\infty}^\infty x^n d\mu(x), \quad n = 0,1,2,\ldots</math>

は有限であると仮定する。もし

:<math> \int_{-\infty}^\infty \frac{- \ln f(x)}{1 + x^2} \, dx < \infty </math>

が成立するなら、''&mu;'' についての{{仮リンク|ハンバーガーのモーメント問題|en|Hamburger moment problem}}は不定である。すなわち、'''R''' 上の別の測度 ''&nu;''&nbsp;≠&nbsp;''&mu;'' で
:<math> m_n = \int_{-\infty}^\infty x^n \, d\nu(x), \quad n = 0,1,2,\ldots</math>
を満たすようなものが存在する。この事実は、上述のクレインの定理の必要性（only if）の部分より従う<ref>{{Cite book |first=N. I. |last=Akhiezer |author-link=:en:Naum Akhiezer|title=The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis |location= |publisher=Oliver & Boyd |year=1965 }}</ref>。

=== 例 ===

今

:<math> f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \exp \left\{ - \ln^2 x \right\} </math>

とする。このとき測度 d''&mu;''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''f''(''x'') d''x'' は[[スティルチェス＝ウィガート多項式|スティルチェス＝ウィガート測度]]と呼ばれる。今

:<math> 
\int_{-\infty}^\infty \frac{- \ln f(x)}{1+x^2} dx
 = \int_{-\infty}^\infty \frac{\ln^2 x + \ln \sqrt{\pi}}{1 + x^2} \, dx < \infty </math>

が成立するため、''&mu;'' についてのハンバーガーのモーメント問題は不定である。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:くれいんのしようけん}}
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[[Category:マルク・クレイン]]
[[Category:数学に関する記事]]