クロス積のソースを表示

[[ファイル:Cross_product_parallelogram.svg|右|サムネイル|3次元ベクトル {{mvar|'''a'''}}, {{mvar|'''b'''}} のクロス積（{{math|''a'' × ''b''}}）。クロス積は、{{mvar|'''a'''}}, {{mvar|'''b'''}} のなす[[平行四辺形]]の[[面積]]に等しい大きさを持ち、平行四辺形に[[垂直]]なベクトルとなる。]]
{{読み仮名|'''クロス積'''|クロスせき|{{lang-en-short|cross product}}}}は、[[3次元]]空間（3次元[[有向]][[内積空間]]）において定義される、2つの[[ベクトル空間|ベクトル]]から新たなベクトルを与える[[二項演算]]である。

2つのベクトル {{mvar|a}}, {{mvar|b}} のクロス積は[[×|乗算記号]]を用いて {{math|''a'' × ''b''}}、あるいは[[角括弧]]を用いて {{math|[''a'', ''b'']}} と表される。

== 呼称 ==

「クロス積」という呼称は、積の記号に十字（[[乗算記号|×]]）を用いることに由来する（同様にベクトルの[[内積]]は点（[[中黒|&sdot;]]）を用いることから[[ドット積]]と呼ばれる）。またクロス積の別称として、{{読み仮名|'''ベクトル積'''|ベクトルせき|{{lang-en-short|vector product}}}}がある。「ベクトル積」は積 {{math|''a'' × ''b''}} がベクトルとなることに由来する（同様に積 {{math|''a'' &sdot; ''b''}} はスカラーとなるため、ドット積はスカラー積とも呼ばれる）。

[[日本語]]や[[中国語]]では、クロス積（{{zh-hant|叉積}}、{{zh-hans|叉积}}）をしばしば'''外積'''（{{zh-hant|外積}}、{{zh-hans|外积}}）と呼び、しばしば同義語として扱う。しかし「外積」という語は、より一般には[[外積代数]]における楔積も指し、必ずしも「クロス積」とは一致しない。
楔積とクロス積を区別のため、前者を外積と呼び後者をクロス積と呼ぶ。

{{en|outer product}} もまた「外積」と訳されるが、こちらは[[直積 (ベクトル)|直積]]（{{en|direct product}}）を意味する。

== 表記 ==
2つのベクトル {{mvar|'''a'''}}, {{mvar|'''b'''}} のクロス積は、以下のように表記される。

* [[乗算記号]]を用いる場合：<math>\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} </math>
* [[角括弧]]を用いる場合：<math>[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}] </math>

== 定義 ==
[[File:Right hand rule cross product.svg|サムネイル|右|[[右手の法則]]によるクロス積の向き]]
[[ファイル:Cross_product_vector.svg|右|サムネイル|[[右手系]]の外積]]
3次元空間上の2つのベクトル {{mvar|'''a'''}}, {{mvar|'''b'''}} のクロス積 {{math|1='''''a''''' × '''''b'''''}} は、以下のように定義される：
:<math>
  \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} 
  = \left| \boldsymbol{a} \right|
    \left| \boldsymbol{b} \right|
    \sin (\theta) \ \boldsymbol{n}
</math>
ただし、{{mvar|&theta;}} は2つのベクトルのなす角の角度、{{math|{{abs|&sdot;}}}} は[[ノルム|ベクトルの大きさ]]、{{mvar|'''n'''}} は2つのベクトルがなす平面に対し[[垂直]]な[[単位ベクトル]]を表す（{{mvar|'''n'''}} は[[右手系]]になるように取る）。

=== 行列式による定義 ===

3次元の向き付けられたベクトル空間におけるクロス積は、任意のベクトル '''''v''''' に対して[[ドット積]]との間に
{{Indent|
<math>
  \boldsymbol{v} 
  \cdot (
    \boldsymbol{a} 
    \times \boldsymbol{b}
  )
  = \det \langle 
    \boldsymbol{v}, 
    \boldsymbol{a}, 
    \boldsymbol{b} 
  \rangle
</math>
}}
の関係を満たすベクトルの二項演算である。ここで &lang; &middot; , &middot; , &middot; &rang; はベクトルを標準的な基底により[[列ベクトル]]と同一視することで得られる3次[[正方行列]]である。det は[[行列式]]を表す。

幾何的なベクトルの演算として定義できる。

行列式の交代性から、

{{Indent|<math>\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})
 =\boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} )=0</math>}}

である。

従って、2つのベクトル '''''a'''''、'''''b''''' のクロス積 '''''a'''''&#xD7;'''''b''''' は、元のベクトル '''''a'''''、'''''b''''' の両方と直交する。言い換えれば、2つのベクトルが作る[[平面]]の[[法線]]と平行な方向を向いている。

ただし、法線のどちらの方向に向いているかは座標軸の選び方に依存し、[[右手系]]と[[左手系]]に分けられる。右手系の場合は、'''''a''''' をその始点の周りに180度以下の回転角で回して '''''b''''' に重ねるときに右ねじの進む方向である。すなわち、右手の親指を '''''a'''''、人差し指を'''''b''''' としたときの中指がクロス積 '''''a'''''&#xD7;'''''b''''' の向きを表す。左手系の場合は、'''''b''''' をその始点の周りに180度以下の回転角で回して '''''a''''' に重ねるときに右ねじの進む向きである。

行列式とスカラー積の線型性からクロス積も双線型性をもつ。 特に、2つのベクトル '''''a'''''、'''''b''''' のクロス積 '''''a'''''&#xD7;'''''b''''' は、元のベクトル '''''a'''''、'''''b''''' の大きさに比例する。 また、二つのベクトル '''''a'''''、'''''b''''' のなす角を ''&#x3B8;'' とすれば、標準的な基底の下で

{{Indent|<math>\boldsymbol{a} =
\begin{pmatrix}
 a \\ 0 \\ 0 \\
\end{pmatrix},~
\boldsymbol{b} =
\begin{pmatrix}
 b\cos\theta \\ b\sin\theta \\ 0 \\
\end{pmatrix}</math>}}

と成分表示することができる。これらのクロス積は

{{Indent|<math>\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} =
\begin{pmatrix}
 0 \\ 0 \\ ab\sin\theta \\
\end{pmatrix}</math>}}

となる。従ってクロス積の大きさは

{{Indent|<math>\vert \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \vert
 =\vert \boldsymbol{a} \vert\, \vert \boldsymbol{b} \vert \sin\theta</math>}}

であり、2つのベクトルが作る[[平行四辺形]]の面積に等しい。

== 成分表示 ==
標準的な基底を ('''''e'''{{sub|i}}'','''''e'''{{sub|j}}'')=''&delta;{{sub|i,j}}'' として、ベクトル '''''a''''' の成分 ''a{{sub|i}}''=('''''e'''{{sub|i}}'','''''a''''') により列ベクトルとの同一視
{{Indent|
<math>\boldsymbol{a}  \doteq
\begin{pmatrix}
 a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\
\end{pmatrix}</math>
}}
を行う。ベクトル '''''a'''''、'''''b''''' のベクトル積 ['''''a''''','''''b'''''] は
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]_1
 =(\boldsymbol{e}_1,[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]) =
\begin{vmatrix}
 1 & a_1 & b_1 \\
 0 & a_2 & b_2 \\
 0 & a_3 & b_3 \\
\end{vmatrix}
 =a_2 b_3 -a_3 b_2</math>
}}
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]_2
 =(\boldsymbol{e}_2,[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]) =
\begin{vmatrix}
 0 & a_1 & b_1 \\
 1 & a_2 & b_2 \\
 0 & a_3 & b_3 \\
\end{vmatrix}
 =a_3 b_1 -a_1 b_3</math>
}}
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]_3
 =(\boldsymbol{e}_3,[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]) =
\begin{vmatrix}
 0 & a_1 & b_1 \\
 0 & a_2 & b_2 \\
 1 & a_3 & b_3 \\
\end{vmatrix}
 =a_1 b_2 -a_2 b_1</math>
}}
あるいは
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}] \doteq
\begin{pmatrix}
 a_2 b_3 -a_3 b_2 \\
 a_3 b_1 -a_1 b_3 \\
 a_1 b_2 -a_2 b_1 \\
\end{pmatrix}</math>
}}
となる。以上のことを形式的に
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}] =
\begin{vmatrix}
 \boldsymbol{e}_1 & a_1 & b_1 \\
 \boldsymbol{e}_2 & a_2 & b_2 \\
 \boldsymbol{e}_3 & a_3 & b_3
\end{vmatrix}</math>
}}
と表現することもある。

[[エディントンのイプシロン]] ''&epsilon;{{sub|ijk}}'' を用いると
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]_i=\sum_{j,k}\epsilon_{ijk} a_j b_k</math>
}}
である。

== クロス積の幾何的意味 ==

[[ファイル:Cross_product_parallelogram.svg|右|サムネイル|（図1）2つのベクトルのクロス積の大きさは、それらが作る[[平行四辺形]]の大きさとなる。]]
[[ファイル:Parallelepiped_volume.svg|右|サムネイル|240x240ピクセル|（図2）3つのベクトルのクロス積は、[[平行六面体]]を定義する。]]

2つのベクトルのクロス積は、2つのベクトルが作る[[平行四辺形]]の大きさに等しい（図1）。

<math display="block"> \left\| \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \right\| = \left\| \boldsymbol{a} \right\| \left\| \boldsymbol{b} \right\| \left| \sin \theta \right| </math>

また、3つのベクトル '''''a'''''、'''''b'''''、'''''c'''''は、[[平行六面体]]を定義する。（図2）。この[[平行六面体]]の体積 ''V''について、

<math>V = |\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})|</math>

が成り立つ。ここで絶対値記号を付けたのは、3つのベクトルのクロス積が負になる場合を考慮してのことである。

なお、

<math>
  \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{c})=
  \boldsymbol{b}\cdot(\boldsymbol{c}\times \boldsymbol{a})=
  \boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})
</math>

である。

== 性質 ==

=== 分配律 ===
一般に[[分配律]]

* {{math|'''a''' × ('''b''' + '''c''') {{=}} '''a''' × '''b''' + '''a''' × '''c'''}} （角括弧表記では{{math|1=['''a''', '''b+c'''] = ['''a''', '''b'''] + ['''a''', '''c''']}}）
が成り立つ。

=== 反交換律 ===
一般に[[反交換律]]

* {{math|'''a''' × '''b''' {{=}} − '''b''' × '''a'''}} （角括弧表記では{{math|1=['''b''', '''a'''] = -['''a''', '''b''']}}）

が成り立つ。これは、[[行列式]]の交代性や[[リー代数]]の[[反交換性]]からも説明できる。特に、自分自身とのベクトル積は{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}] = \boldsymbol{0}</math>
}}
であり恒等的に零ベクトルである。（複零性）

内積の性質、
{{Indent|
<math>(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}) = (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})</math>
}}
{{Indent|
<math>(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}) = | \boldsymbol{a} |^2</math>
}}
と異なることに注意が必要。

=== 双線型性 ===
行列式の[[線型性#重線型|多重線型性]]から、ベクトル積も[[線型性#%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B|双線型性]]である。任意のベクトルに '''''a'''''、'''''b'''''、'''''c''''' とスカラー ''k''、''l'' に対して
{{Indent|<math>[\boldsymbol{a},k\boldsymbol{b}+l\boldsymbol{c}] =k[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}] +l[\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}]</math>}}{{Indent|<math>[k\boldsymbol{b}+l\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}] =k[\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}] +l[\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}]</math>}}
が成り立つ。特に ''k''=''l''=0 であれば
{{Indent|<math>[\boldsymbol{a},\boldsymbol{0}]
 =[\boldsymbol{0}, \boldsymbol{a}] =\boldsymbol{0}</math>}}
である。内積（スカラー積）の場合は[[零ベクトル]]との積はスカラーのゼロであるが、ベクトル積の場合は零ベクトルであることに注意が必要。

=== ヤコビ恒等式 ===
ベクトル積による演算結果はベクトルなので、別のベクトルとのベクトル積を考えることができる。3つのベクトルのベクトル積は[[ベクトル三重積]]と呼ばれている。ベクトル三重積は
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a},[\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]]
 =(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c})\, \boldsymbol{b}
 -(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\, \boldsymbol{c}</math>
}}
となる。3つのスカラーの積と異なり、ベクトル三重積では一般に
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a},[\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]]
 -[[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}],\boldsymbol{c}] \neq \boldsymbol{0}</math>
}}
であり、[[結合法則]]が成り立たない。ベクトル積では結合法則に代わって
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a},[\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]]
 -[[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}],\boldsymbol{c}]
 =[\boldsymbol{b},[\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}]]</math>
}}
の関係式が成り立つ。これを変形すれば
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a},[\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]]
+[\boldsymbol{b},[\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}]]
+[\boldsymbol{c},[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]]
=\boldsymbol{0}</math>
}}
が得られ、[[ヤコビ恒等式]]と呼ばれている。

==== 三重積の証明 ====
{{Main|ベクトル三重積}}
ベクトル三重積：<math> \boldsymbol a \times ( \boldsymbol b \times \boldsymbol c) </math>

ベクトル<math>\boldsymbol a</math>とベクトル<math>(\boldsymbol b \times \boldsymbol c)</math>の外積であるから、これはベクトルである。その''x'' 成分は

: <math>\begin{align}
\{\boldsymbol a \times (\boldsymbol b \times \boldsymbol c) \}_x 
&= a_y (\boldsymbol b \times \boldsymbol c)_z - a_z (\boldsymbol b \times \boldsymbol c)_y \\
&= a_y (b_x c_y - b_y c_x) - a_z (b_z c_x -b_x c_z) \\
&= a_y b_x c_y - a_y b _y c_x - a_z b_z c_x + a_z b_x c_z \\
&= ( a_y c_y + a_z c_z) b_x - (a_y b_y + a_z b_z) c_x \\
&= (a_y c_y + a_z c_z) b_x + a_x b_x c_x - (a_y b_y + a_z b_z) c_x - a_x b_x c_x \\
&=(a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z) b_x - (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) c_x \\
&=(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c) b_x - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) c_x \end{align}</math>

同様にして、''y'' 成分、''z'' 成分は、
: <math>\begin{align}
&\{\boldsymbol a \times (\boldsymbol b \times \boldsymbol c) \}_y = (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c) b_y - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) c_y \\
& \{\boldsymbol a \times (\boldsymbol b \times \boldsymbol c) \}_z = (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c) b_z - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) c_z
\end{align}</math>

ゆえに、
: <math>\boldsymbol a \times (\boldsymbol b \times \boldsymbol c) = (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c) \boldsymbol b - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b) \boldsymbol c</math>

== 多次元への拡張 ==
=== 行列式を使った拡張 ===
行列式による定義を拡張して、''n'' 次元ベクトル空間における ''n'' - 1 項演算としてのベクトル積が
{{Indent|
<math>(\boldsymbol{v}, [\boldsymbol{a}_1, \ldots, \boldsymbol{a}_{n-1}])
 =\det \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{a}_1, \ldots, \boldsymbol{a}_{n-1} \rangle</math>
}}
を定義できる。
完全反対称行列を用いれば
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a}_1, \ldots, \boldsymbol{a}_{n-1}]_i
 =\sum_{j_1,\ldots,j_{n-1}}\epsilon_{i,j_1,\ldots,j_{n-1}} a_1^{j_1} \cdots a_{n-1}^{j_{n-1}}</math>
}}
となる。

例えば、2次元のベクトル空間では[[単項演算]]として
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a}] =
\begin{pmatrix}
 a_2 \\ -a_1 \\
\end{pmatrix} </math>
}}
となり、4次元ではそれぞれ[[三項演算]]として
{{Indent|
<math>[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}] =
\begin{pmatrix}
 +a_2 b_3 c_4 +a_3 b_4 c_2 +a_4 b_2 c_3 -a_2 b_4 c_3 -a_3 b_2 c_4 -a_4 b_3 c_2 \\
 -a_3 b_4 c_1 -a_4 b_1 c_3 -a_1 b_3 c_4 +a_3 b_1 c_4 +a_4 b_3 c_1 +a_1 b_4 c_3 \\
 +a_4 b_1 c_2 +a_1 b_2 c_4 +a_2 b_4 c_1 -a_4 b_2 c_1 -a_1 b_4 c_2 -a_2 b_1 c_4 \\
 -a_1 b_2 c_3 -a_2 b_3 c_1 -a_3 b_1 c_2 +a_1 b_3 c_2 +a_2 b_1 c_3 +a_3 b_2 c_1 \\
 \end{pmatrix} </math>
}}
となる。また、1次元では[[定数]] 1 となる。

=== 多元数を使った拡張 ===
3次元のクロス積
:<math> (a_1, a_2, a_3) \times (b_1, b_2, b_3) = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1) </math>
は、[[4元数]]（<math>a + bi + cj + dk</math>）のベクトル成分（<math>bi + cj + dk</math> の部分）の[[乗算]]
:<math> (a_1 i + a_2 j + a_3 k) (b_1 i + b_2 j + b_3 k) = -(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) + (a_2 b_3 - a_3 b_2) i + (a_3 b_1 - a_1 b_3) j + (a_1 b_2 - a_2 b_1) k \,</math>
のベクトル成分で定義できる。ちなみに、スカラー成分を符号反転した <math> a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 </math> は[[内積]]になっている。

3次元のクロス積は[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン|ハミルトン]]の[[4元数]]の概念をもとにして、[[ウィラード・ギブズ]]と[[オリヴァー・ヘヴィサイド]]がそれぞれ独立に、[[ドット積]]と対になる数学的概念として考案した。

これを多元数に拡張すると、''n'' + 1 元数の乗算から ''n'' 次元でのクロス積を定義できる。つまり、[[実数]]（1元数）、[[複素数]]（2元数）、4元数、[[8元数]]の乗算から、0次元、1次元、3次元、7次元でのクロス積が定義できる（要素数が多くなるため縦ベクトルで表す）。

:<math>\begin{align} &() \times () = () \\
& (a_1) \times (b_1) = (0) \\
& \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix} \\

& \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6 \\ a_7 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\ b_5 \\ b_6 \\ b_7 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a_2 b_3 - a_3 b_2 - a_4 b_5 + a_5 b_4 - a_6 b_7 + a_7 b_6 \\
-a_1 b_3 + a_3 b_1 - a_4 b_6 + a_5 b_7 + a_6 b_4 - a_7 b_5 \\
a_1 b_2 - a_2 b_1 - a_4 b_7 - a_5 b_6 + a_6 b_5 + a_7 b_4 \\
a_1 b_5 + a_2 b_6 + a_3 b_7 - a_5 b_1 - a_6 b_2 - a_7 b_3 \\
-a_1 b_4 - a_2 b_7 + a_3 b_6 + a_4 b_1 - a_6 b_3 + a_7 b_2 \\
a_1 b_7 - a_2 b_4 - a_3 b_5 + a_4 b_2 + a_5 b_3 - a_7 b_1 \\
-a_1 b_6 + a_2 b_5 - a_3 b_4 + a_4 b_3 - a_5 b_2 + a_6 b_1
\end{pmatrix} \end{align}</math>

これら以外の次元では、必要な[[対称性]]を持つ乗算が定義できないため（これは[[アドルフ・フルヴィッツ]]によって証明された）、クロス積は定義できない。また、0次元では自明なことを確認できるにすぎず、1次元のクロス積は常に[[零ベクトル]]である。

=== 直積を使った拡張（外積） ===
クロス積は、直積
:<math> \boldsymbol{a} \circ \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \boldsymbol{b}^{\intercal} = (a_i b_j) </math>
を使って
:<math> \boldsymbol a \times \boldsymbol b = \boldsymbol a \circ \boldsymbol b - \boldsymbol b \circ \boldsymbol a \quad</math> (*)
と定義できる。ただしここで、[[反対称テンソル]]と[[擬ベクトル]]を等価
:<math> (x, y, z) = \begin{pmatrix} 0 & z & -y \\ -z & 0 & x \\ y & -x & 0 \end{pmatrix} </math>
としたが、これを[[ホッジ作用素]]<math>\star</math>で[[写像]]として明示すると
:<math> \boldsymbol a \times \boldsymbol b = \star ( \boldsymbol a \circ \boldsymbol b - \boldsymbol b \circ \boldsymbol a) </math>
と書ける。

(*)式はそのまま、一般次元での定義に使える。ただし、これで定義できる積は、クロス積ではなく[[ウェッジ積|外積]]と呼び、
:<math> \boldsymbol a \wedge \boldsymbol b = \boldsymbol a \circ \boldsymbol b - \boldsymbol b \circ \boldsymbol a </math>
で表す。外積は3次元ではクロス積に一致するが、同義語ではないので注意が必要である。

外積は2階の反対称テンソルであり、これはホッジ作用素により、''n'' 次元では ''n'' - 2 階の[[擬テンソル]]に写像できる。つまり、2次元では[[擬スカラー]]（0階の擬テンソル）、3次元では[[擬ベクトル]]（1階の擬テンソル）に写像できるが、4次元以上ではテンソルとして扱うしかない。

外積（{{Lang-de|äußeres Produkt}}）は、[[ヘルマン・グラスマン|グラスマン]]によって導入されたが、当時はそれほど注目されず、彼の死後に高く評価された。

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[ウェッジ積]]
*[[直積 (ベクトル)|直積]]
*[[ドット積]]
*{{仮リンク|7次元クロス積|en|Seven-dimensional cross product}}(Seven-dimensional cross product)
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|外積}}
*{{Kotobank|ベクトル積}}
*{{MathWorld|title=Cross Product|urlname=CrossProduct}}
{{デフォルトソート:くろすせき}}
[[Category:双線型演算]]
[[Category:物理数学]]
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:数学に関する記事]]