クロネッカーのデルタのソースを表示

'''クロネッカーのデルタ'''（{{Lang-en-short|Kronecker delta}}）とは、[[集合]] {{Mvar|T}}（多くは[[自然数]]の[[部分集合]]）の[[元 (数学)|元]] {{Mvar|i, j}} に対して
:<math>\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & (i=j)\\ 0 & (i \ne j)\end{cases}</math>
によって定義される二変数[[関数 (数学)|関数]] <math>\delta_{ij}:T\times T\rightarrow \{0,1\}</math> のことをいう。つまり、{{Math|''T'' × ''T''}} の対角成分の[[指示関数|特性関数]]のことである。名称は、19世紀の[[ドイツ]]の数学者[[レオポルト・クロネッカー]]に因む<ref>記号としての初出は恐らく {{cite journal
|title = Ueber bilineare Formen
|last = Kronecker
|first = L.
|authorlink = レオポルト・クロネッカー
|journal = [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
|year = 1868
|volume = 68
|pages = 272–285
|id = {{EuDML|148042}}
}} の276ページ。</ref>。

[[アイバーソンの記法]]を用いると
:<math>\delta_{ij} = [i=j ]\,</math>
と書ける。

単純な記号だが、色々な場面で有用である。例えば、[[単位行列]]は {{Math|({{Mvar|&delta;}}{{sub|{{Mvar|ij}}}})}} と書けたり、{{Mvar|n}} 次元[[直交座標系|直交座標]]の基底[[ベクトル空間|ベクトル]]の[[内積]]は、{{Math|({{Mvar|e}}{{sub|{{Mvar|i}}}}, {{Mvar|e}}{{sub|{{Mvar|j}}}}) {{=}} {{Mvar|&delta;}}{{sub|{{Mvar|ij}}}}}} と書ける。 

== 性質 ==
:<math>\begin{align}
\sum_{j} \delta_{ij} a_{j} &= a_{i}\\
\sum_{i} a_{i}\delta_{ij}  &= a_{j}
\end{align}</math>
が成り立つ。これはベクトルに単位行列を作用させても不変であることに対応する。

:<math>
\sum_{k} \delta_{ik} \delta_{kj} = \delta_{ij}
</math>
が成り立つ。これは単位行列に単位行列を掛けたものは単位行列であることに対応する。

== 一般化されたクロネッカーのデルタ ==
この節では、[[添字]]は {{Math|1}} から {{Mvar|n}} の間の値をとるものとする。

2階{{Math|(1, 1)}}型[[テンソル]]としてのクロネッカーのデルタは
:<math>
\delta^{\mu}_{\nu} =
\begin{cases}
1 & \quad (\mu=\nu)\\
0 & \quad (\mu\ne\nu)
\end{cases}
</math>
である。

これを高階に拡張したものとして、{{Mvar|n}} 次元、{{Math|2{{Mvar|p}}}} 階の'''一般化されたクロネッカーのデルタ'''がある。これは {{Math|({{Mvar|p}}, {{Mvar|p}})}} 型テンソルで、上下それぞれの添字に対して[[反対称]]である。

=== 定義 ===
一般化されたクロネッカーのデルタの定義は
:<math>
\delta^{\mu_1 \cdots \mu_p }_{\nu_1 \cdots \nu_p} =
\begin{cases}
+1    & \quad \text{(even)}\\
-1    & \quad \text{(odd) }\\
\;\;0 & \quad \text{(otherwise)}
\end{cases}
</math>
である<ref>Theodore Frankel, ''The Geometry of Physics: An Introduction'' 3rd edition (2012), published by Cambridge University Press, ISBN 9781107602601</ref><ref>D. C. Agarwal, ''Tensor Calculus and Riemannian Geometry'' 22nd edition (2007), published by Krishna Prakashan Media</ref>。

なお、"<math>\text{even}</math>" は <math>\nu_{1},\nu_{2},\dotsc ,\nu_{p}</math> が全て異なり、かつ、 <math>\mu_{1},\mu_{2},\dotsc ,\mu_{p}</math> の[[対称群#互換|偶置換]]の場合を指し、"<math>\text{odd}</math>" は <math>\nu_{1},\nu_{2},\dotsc ,\nu_{p}</math> が全て異なり、かつ、<math>\mu_{1},\mu_{2},\dotsc ,\mu_{p}</math> の[[対称群#互換|奇置換]]の場合を指し、"<math>\text{otherwise}</math>" は上記以外のすべての場合を指す。

<math> \mathfrak{S}_p </math> を {{Mvar|p}} 次の[[対称群]]とすれば
:<math>
\delta^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\nu_1 \cdots \nu_p} 
= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_p} \sgn(\sigma)\,  
\delta^{\mu_{\sigma(1)}}_{\nu_1}\cdots\delta^{\mu_{\sigma(p)}}_{\nu_p} 
= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_p} \sgn(\sigma)\,  
\delta^{\mu_1}_{\nu_{\sigma(1)}}\cdots\delta^{\mu_p}_{\nu_{\sigma(p)}} 
</math>
と表現でき、反対称化の記号を用いると：
:<math>
\delta^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\nu_1 \cdots \nu_p} 
= p! \delta^{\lbrack \mu_1}_{        \nu_1} \cdots \delta^{\mu_p \rbrack}_{\nu_p        }
= p! \delta^{        \mu_1}_{\lbrack \nu_1} \cdots \delta^{\mu_p        }_{\nu_p \rbrack}
</math>
となる。また、{{nowrap|{{Mvar|p}} × {{Mvar|p}}}} [[行列式]]で表現すると<ref>David Lovelock, Hanno Rund, ''Tensors, Differential Forms, and Variational Principles'', Dover Publications</ref>：
:<math>
\delta^{\mu_1 \cdots \mu_p }_{\nu_1 \cdots \nu_p} =
\begin{vmatrix}
\delta^{\mu_1}_{\nu_1} & \cdots & \delta^{\mu_1}_{\nu_p} \\
\vdots                 & \ddots & \vdots                 \\
\delta^{\mu_p}_{\nu_1} & \cdots & \delta^{\mu_p}_{\nu_p}
\end{vmatrix}
</math>
となる。

行列式の[[行列式#余因子展開|余因子展開]]を用いると[[再帰的]]な定義：
:<math>\begin{align}
\delta^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} 
& = \sum_{k=1}^p (-1)^{p+k} \delta^{\mu_p}_{\nu_k} 
\delta^{\mu_1 \cdots \mu_{k} \cdots \check\mu_p}_{\nu_1 \cdots \check\nu_k \cdots \nu_{p}}
\end{align}</math>
が得られる。ただし、チェック(<math>\check{}</math>)が付いた項は式から外されるとする。

{{Math|{{Mvar|n}}{{=}}{{Mvar|p}}}} の場合、(高階に拡張された)[[エディントンのイプシロン]]を使えば：
:<math>
\delta^{\mu_1 \cdots \mu_n}_{\nu_1 \cdots \nu_n} 
= \varepsilon^{\mu_1 \cdots \mu_n}\varepsilon_{\nu_1 \cdots \nu_n}
</math>
となる。

逆にエディントンのイプシロンの定義と考えることもできる。
:<math>
\varepsilon^{\mu_1 \cdots \mu_n} = \delta^{\mu_1 \cdots \mu_n}_{1 \cdots n} 
</math>
:<math>
\varepsilon_{\nu_1 \cdots \nu_n} = \delta^{1 \cdots n}_{\nu_1 \cdots \nu_n} 
</math>

=== 演算規則 ===
反対称化を一般化されたクロネッカーのデルタを使って定義すると
:<math>\begin{align}
\frac{1}{p!}\sum_{\nu_1,\dots,\nu_p=1}^{n}\delta^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\nu_1 \cdots \nu_p}
a^{\nu_1 \cdots \nu_p} 
&= 
a^{\lbrack \mu_1 \cdots \mu_p \rbrack}
\\ 
\frac{1}{p!}\sum_{\mu_1,\dots,\mu_p=1}^{n}\delta^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\nu_1 \cdots \nu_p}
a_{\mu_1 \cdots \mu_p} 
&= 
a_{\lbrack \nu_1 \cdots \nu_p \rbrack}
\end{align}</math>
となる。

これより、以下の演算規則が導かれる。
:<math>\begin{align}
\sum_{1 \le \nu_1 < \dots < \nu_p \le n}\delta^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\nu_1 \cdots \nu_p}
a^{\lbrack \nu_1 \cdots \nu_p \rbrack} 
&= 
a^{\lbrack \mu_1 \cdots \mu_p \rbrack}
\\ 
\sum_{1 \le \mu_1 < \dots < \mu_p \le n}\delta^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\nu_1 \cdots \nu_p}
a_{\lbrack \mu_1 \cdots \mu_p \rbrack} 
&= 
a_{\lbrack \nu_1 \cdots \nu_p \rbrack}
\\ 
\sum_{1 \le \nu_1 < \dots < \nu_p \le n}
\delta^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\nu_1 \cdots \nu_p}
\delta^{\nu_1 \cdots \nu_p}_{\rho_1 \cdots \rho_p}
&= 
\delta^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\rho_1 \cdots \rho_p}
\end{align}</math>
これらは[[#性質]]の節の内容の一般化であり、3番目の式は[[コーシー・ビネの公式]]に対応する。

添字の[[テンソルの縮約|縮約]]については  {{Math|0&le;{{Mvar|m}}<{{Mvar|k}}&le;{{Mvar|n}}}} として<ref>Sadri Hassani,''Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields'' 2nd edition (2008), published by Springer-Verlag, ISBN 978-0387095035</ref>、
:<math>
 \sum_{\rho_{m+1}=1}^{n}
 \cdots
 \sum_{\rho_{k}=1}^{n}
 \delta^{\mu_1 \cdots \mu_m~\rho_{m+1}\cdots \rho_k}_{\nu_1 \cdots \nu_m~\rho_{m+1}\cdots \rho_k}\, 
= \frac{(n-m)!}{(n-k)!} \delta^{\mu_{1} \cdots \mu_{m}}_{\nu_{1} \cdots \nu_{m}}
</math>
あるいは
:<math>
\sum_{1 \le \rho_{m+1}< \dots < \rho_k \le n}
\delta^{\mu_1 \cdots \mu_m~\rho_{m+1}\cdots \rho_k}_{\nu_1 \cdots \nu_m~\rho_{m+1}\cdots \rho_k}\, 
= \begin{pmatrix}n-m \\ k-m \end{pmatrix}\delta^{\mu_{1} \cdots \mu_{m}}_{\nu_{1} \cdots \nu_{m}}
</math>
が成立する。

特に {{Math|{{Mvar|k}}{{=}}{{Mvar|n}}}} のとき、
:<math>\sum_{1 \le \rho_{m+1}< \cdots < \rho_n \le n}
\delta^{\mu_1 \cdots \mu_m~\rho_{m+1}\cdots \rho_n}_{\nu_1 \cdots \nu_m~\rho_{m+1}\cdots \rho_n}\, 
= \delta^{\mu_{1} \cdots \mu_{m}}_{\nu_{1} \cdots \nu_{m}}
</math>
あるいは
:<math>
\sum_{1 \le \rho_{m+1}< \cdots < \rho_n \le n}
\varepsilon^{\mu_1 \cdots \mu_m~\rho_{m+1}\cdots \rho_n}~ 
\varepsilon_{\nu_1 \cdots \nu_m~\rho_{m+1}\cdots \rho_n}\, 
= \delta^{\mu_{1} \cdots \mu_{m}}_{\nu_{1} \cdots \nu_{m}}
</math>
:<math>
\sum_{\rho_{m+1},\dots,\rho_n=1}^{n}
\varepsilon^{\mu_1 \cdots \mu_m~\rho_{m+1}\cdots \rho_n}~ 
\varepsilon_{\nu_1 \cdots \nu_m~\rho_{m+1}\cdots \rho_n}\, 
= (n-m)! ~ \delta^{\mu_{1} \cdots \mu_{m}}_{\nu_{1} \cdots \nu_{m}}
</math>
が成立する。

== 出典 ==
<references/>

== 関連項目 ==
*[[ディラックのデルタ関数]]
*[[対角線論法]]
*[[黒猫の三角]] - タイトル、登場する黒猫は、ともにクロネッカーのデルタからの引用
{{Tensors}}

{{DEFAULTSORT:くろねつかあのてるた}}
[[Category:数学の表記法]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]