クンマー環のソースを表示

{{refimprove|date=February 2010}}
[[抽象代数学]]における'''クンマー環'''（クンマーかん、{{lang-en-short|''Kummer ring''}}）あるいは[[円分体|円分]][[整数環]] {{math|'''ℤ'''{{bracket|''ζ''}}}} は、[[複素数]][[可換体|体]]の[[部分環]]で、その各元は <math display="block">n_0 + n_1 \zeta + n_2 \zeta^2 + \dotsb + n_{m-1} \zeta^{m-1}</math> の形をしている。ただし、{{math|''ζ'' {{coloneqq}} [[指数函数|exp]](2''πi''/''m'')}} は [[1の冪根|{{math|1}} の {{mvar|m}}-乗根]]で、{{math|''n''{{sub|0}}, …, ''n''{{sub|''m''&minus;1}}}} は[[整数]]である。名称は、このような形の数の[[一意分解環|素因数分解]]について研究した[[エルンスト・クンマー]]に因む。

クンマー環は[[有理整数環]] {{mathbf|ℤ}} の[[環の拡大|拡大環]]であり、記号 {{math|'''ℤ'''{{bracket|''ζ''}}}} はそのことを受けてのものになっている。{{mvar|ζ}} の[[最小多項式 (体論)|最小多項式]]は {{mvar|m}}-次の[[円分多項式]]であるから、この環 {{math|'''ℤ'''{{bracket|''ζ''}}}} は {{mathbf|ℤ}} の {{math|[[オイラーのトーシェント函数|''φ''(''m'')]]}}-次拡大である。
<!--クンマー環を[[ガウス平面]]上に図示しようとするならば、それはまるで[[羅針図]]や[[航程線]]の書かれた趣あるルネッサンス期の地図を見るようである。-->
クンマー環 {{math|'''ℤ'''{{bracket|''ζ''}}}} の[[可逆元|単数]]全体の成す集合には、<math display="block"> \{1, \zeta, \zeta^2, \ldots ,\zeta^{m-1}\} </math> が含まれる。[[ディリクレの単数定理]]により一般には無限位数の単数も存在するが、例外は {{math|1=''m'' = 1}} または {{math|1=''m'' = 2}}（つまり、有理整数環 {{mathbf|ℤ}}）の場合、{{math|1=''m'' = 4}}（[[ガウス整数]]環 {{math|'''ℤ'''{{bracket|''i''}}}}）の場合、および {{math|1=''m'' = 3}} または {{math|1=''m'' = 6}}（[[アイゼンシュタイン整数]]環 {{math|'''ℤ'''{{bracket|''ω''}}}}）の場合である。

== 関連項目 ==
* [[クンマー理論]]

== 参考文献 ==
* Allan Clark ''Elements of Abstract Algebra'' (1984 Courier Dover) p.&nbsp;149

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=CyclotomicInteger|title=Cyclotomic Integer}}
* {{nlab|urlname=cyclotomic+integer|title=cyclotomic integer}}
* {{PlanetMath|urlname=cyclotomicunits|title=cyclotomic units}}


{{代数的数}}
{{DEFAULTSORT:くんまあかん}}
[[Category:円分体]]
[[Category:環論]]
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