クンマー環

テンプレート:Refimprove 抽象代数学におけるクンマー環（クンマーかん、テンプレート:Lang-en-short）あるいは円分整数環 テンプレート:Math は、複素数体の部分環で、その各元は $$n_0+n_1\zeta +n_2{\zeta }^2+\cdots +n_{m-1}{\zeta }^{m-1}$$ の形をしている。ただし、テンプレート:Math は [[1の冪根|テンプレート:Math の テンプレート:Mvar-乗根]]で、テンプレート:Math は整数である。名称は、このような形の数の素因数分解について研究したエルンスト・クンマーに因む。

クンマー環は有理整数環 テンプレート:Mathbf の拡大環であり、記号 テンプレート:Math はそのことを受けてのものになっている。テンプレート:Mvar の最小多項式は テンプレート:Mvar-次の円分多項式であるから、この環 テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf の テンプレート:Math-次拡大である。 クンマー環 テンプレート:Math の単数全体の成す集合には、$$\{1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{m-1}\}$$ が含まれる。ディリクレの単数定理により一般には無限位数の単数も存在するが、例外は テンプレート:Math または テンプレート:Math（つまり、有理整数環 テンプレート:Mathbf）の場合、テンプレート:Math（ガウス整数環 テンプレート:Math）の場合、および テンプレート:Math または テンプレート:Math（アイゼンシュタイン整数環 テンプレート:Math）の場合である。

関連項目

• クンマー理論

参考文献

• Allan Clark Elements of Abstract Algebra (1984 Courier Dover) p. 149

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Nlab
• テンプレート:PlanetMath

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