グラスマン数のソースを表示

[[数理物理学]]において、'''グラスマン数'''（グラスマンすう、{{lang-en-short|Grassmann number}}）とは複素数を含む[[外積代数]]の要素を指し、[[ヘルマン・グラスマン]]に因んで名付けられた{{Sfnp|DeWitt|1992|p=1}}。具体的には、以下のような[[反交換関係]]を満たす数のことで{{Sfnp|西川|森|2000}}、{{mvar|&psi;}} を使って表す。
:<math>\psi_a\psi_b=-\psi_b\psi_a</math>
:<math>\psi^2=0</math>
またグラスマン数の[[微分]]も、反交換関係を満たす。
:<math>\int\mathrm d\psi\psi=-\int\psi\mathrm d\psi=1</math>
:<math>\int\mathrm d\psi 1=0</math>
:<math>\frac{\partial}{\partial\psi_a}\psi_a\psi_b=-\frac{\partial}{\partial\psi_a}\psi_b\psi_a=\psi_b\frac{\partial}{\partial\psi_a}\psi_a=\psi_b</math>
グラスマン数 {{mvar|&psi;}} に共役なグラスマン数 {{math|''&psi;''<sup>*</sup>}} は以下のように定義される。
:<math>\psi\psi^*=-\psi^*\psi</math>
グラスマン数は、[[場の量子論]]や[[多体問題 (量子論)|多体問題]]において[[フェルミ粒子]]の[[経路積分]]を定義する時に用いられる。場の量子論や多体系では、ボース粒子の生成消滅演算子の固有値は複素数であるが、フェルミ粒子の生成消滅演算子の固有値はグラスマン数である{{Sfnp|柏|2015}}。

== 脚注 ==
{{ページ番号|section=1|date=2017年4月25日 (火) 06:38 (UTC)}}
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|first=Bryce|last=DeWitt|authorlink=ブライス・ドウィット|title=Supermanifolds|date=June 26, 1992|series=Cambridge Monographs on Mathematical Physics|edition=2nd|publisher=[[ケンブリッジ大学出版局|Cambridge University Press]]|ncid=BA1704503X|oclc=488824898|isbn=0-521-42377-5|ref=harv}}
* {{Cite book|和書|last1=西川|first1=恭治|last2=森|first2=弘之|title=統計物理学|series=朝倉物理学大系|publisher=[[朝倉書店]]|date=2000-05-10|id={{全国書誌番号|20067814}}|isbn=978-4254136807|oclc=54566725|ncid=BA46592047|asin=4254136803|ref=harv}}
* {{Cite book|和書|last=柏|first=太郎|series=量子力学選書|title=経路積分-例題と演習-|publisher=[[裳華房]]|date=2015-11-17|id={{全国書誌番号|22666884}}|isbn=978-4-7853-2513-8|ncid=BB19993144|oclc=930339513|asin=4785325135|ref=harv}}

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{{DEFAULTSORT:くらすまんすう}}
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