グラスマン数

数理物理学において、グラスマン数（グラスマンすう、テンプレート:Lang-en-short）とは複素数を含む外積代数の要素を指し、ヘルマン・グラスマンに因んで名付けられたテンプレート:Sfnp。具体的には、以下のような反交換関係を満たす数のことでテンプレート:Sfnp、テンプレート:Mvar を使って表す。

${\psi }_a{\psi }_b=-{\psi }_b{\psi }_a$

${\psi }^2=0$

またグラスマン数の微分も、反交換関係を満たす。

$\int \mathrm{d}\psi \psi =-\int \psi \mathrm{d}\psi =1$

$\int \mathrm{d}\psi 1=0$

$\frac{\partial }{\partial {\psi }_a}{\psi }_a{\psi }_b=-\frac{\partial }{\partial {\psi }_a}{\psi }_b{\psi }_a={\psi }_b\frac{\partial }{\partial {\psi }_a}{\psi }_a={\psi }_b$

グラスマン数 テンプレート:Mvar に共役なグラスマン数 テンプレート:Math は以下のように定義される。

$\psi {\psi }^{*}=-{\psi }^{*}\psi$

グラスマン数は、場の量子論や多体問題においてフェルミ粒子の経路積分を定義する時に用いられる。場の量子論や多体系では、ボース粒子の生成消滅演算子の固有値は複素数であるが、フェルミ粒子の生成消滅演算子の固有値はグラスマン数であるテンプレート:Sfnp。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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