ケイシーの定理のソースを表示

[[File:Casey new1a.svg|thumb|upright=1.25|<math>t_{12} \cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0 </math>]]

[[数学]]における'''ケイシーの定理'''（ケイシーのていり、{{Lang-en-short|Casey's theorem}}）または'''一般化[[トレミーの定理]]'''は、アイルランドの[[数学者]][[ジョン・ケイシー (数学者)|ジョン・ケイシー]]にちなむ[[ユークリッド幾何学]]の定理である。

== 主張==

<math>\,O</math> を半径 <math>\,R</math> の円とし、<math>\,O_1, O_2, O_3, O_4</math> をこの順に <math>\,O</math> に内接する、互いに交わらない4つの円とする。円 <math>\,O_i, O_j</math> に外側の共通[[接線]]を引いたときの2接点の距離を <math>\,t_{ij}</math> とすると、次の等式が成り立つ<ref name="Cas"/>。

:<math>\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}</math>

4つの円がみな1点にまで退化した場合、これはちょうどトレミーの定理になる<ref>{{Cite book|和書 |title=A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples |url=https://archive.org/details/sequeltofirstsix00caserich/page/102/mode/2up |publisher=Dublin : Hodges, Figgis & co. |date=1886 |others=University of California Libraries |first=John |last=Casey |page=104}}</ref>。

== 証明 ==

以下の証明は Zacharias に帰せられる<ref name="Bot"/><ref name="Zach"/>。円 <math>\,O_i</math> の半径を <math>\,R_i</math> と表し、円 <math>\,O</math> との内接点を <math>\,K_i</math> とする。各円の中心を同じ記号 <math>\,O, O_i</math> で表すことにする。
[[ピタゴラスの定理]]より、

:<math>\,t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2</math>

この長さを点 <math>\,K_i,K_j</math>を用いて表したい。[[余弦定理]]を三角形 <math>\,O_iOO_j</math> に用いると

:<math>\overline{O_iO_j}^2=\overline{OO_i}^2+\overline{OO_j}^2-2\overline{OO_i}\cdot \overline{OO_j}\cdot \cos\angle O_iOO_j</math>

が得られる。円 <math>\,O,O_i</math> が接していることから

:<math>\overline{OO_i} = R - R_i,\, \angle O_iOO_j = \angle K_iOK_j</math>

<math>\,C</math> を円 <math>\,O</math> の周上の点とする。[[正弦定理]]を三角形 <math>\,K_iCK_j</math> に用いると

:<math>\overline{K_iK_j} = 2R\cdot \sin\angle K_iCK_j = 2R\cdot \sin\frac{\angle K_iOK_j}{2}</math>

が得られる。これより、

:<math>\cos\angle K_iOK_j = 1-2\sin^2\frac{\angle K_iOK_j}{2}=1-2\cdot \left(\frac{\overline{K_iK_j}}{2R}\right)^2 = 1 - \frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}</math>

以上を余弦定理の式に代入すると

<math>
\begin{align}
\overline{O_iO_j}^2 &=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)\left(1-\frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}\right) \\
&=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2} \\
&=((R-R_i)-(R-R_j))^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}
\end{align}
</math>

よって

:<math>t_{ij}=\sqrt{\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R}</math>

が得られる。円に内接する[[四角形]] <math>\,K_1K_2K_3K_4</math> にトレミーの定理を用いて変形すると

:<math>
\begin{align}
& t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23} \\[4pt]
= {} & \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4} \left(\overline{K_1K_2} \cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right) \\[4pt]
= {} & \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_3}\cdot \overline{K_2K_4}\right) \\[4pt]
= {} & t_{13}t_{24}
\end{align}
</math>

==さらなる一般化 ==

4つの円が最大の円に内側から接していなくともよい。実際、これらが外側から接している場合も考えることができて、その場合は以下のように定めればよい<ref name="John"/>。
:円 <math>\,O_i, O_j</math> が円 <math>\,O</math> の同じ側（いずれも内側か、または外側）から接しているならば、<math>\,t_{ij}</math> は2円に対し外側から共通接線を引いたときの接点間の距離とする。
:円 <math>\,O_i, O_j</math> が円 <math>\,O</math> の異なる側（一方が内側で他方が外側）から接しているならば、<math>\,t_{ij}</math> は2円に対し内側から共通接線を引いたときの（共通接線に対し2円が反対側に位置するようなときの）接点間の距離とする。

ケイシーの定理の逆もまた成り立つ<ref name="John"/>。つまり、この等式が成り立っているならば、4つの円はある1つの円に共通して接する。

==応用==

ケイシーの定理およびその逆は、[[ユークリッド幾何学]]の種々の命題の証明に用いることができる。例えば、[[フォイエルバッハの定理]]の最も短い証明はケイシーの定理の逆を利用するものである<ref name="Cas"/>{{rp|411}}。

== 系 ==
[[ファイル:Purser theorem.svg|パーサーの定理|サムネイル|206x206ピクセル]]
ケイシーの定理の[[系 (数学)|系]]にはトレミーの定理の他、[[ファン・スコーテンの定理]]や'''パーサーの定理'''（パーサーのていり、{{Lang-en-short|Purser's theorem}}）がある。[[ジョン・パーサー (数学者)|ジョン・パーサー]]により発見された<ref>{{Cite book |title=Euclid Revised |publisher=Oxford |year=1899 |pages=350-351 |first=Randal Charles John|last=Nixon |url=https://archive.org/details/euclidrevisedcon00euclrich/page/350/mode/2up|ref = harv}}</ref>。パーサーの定理の主張は次の通り<ref>{{Cite book|和書 |title=The Mathematics Student |url=https://www.google.co.jp/books/edition/The_Mathematics_Student/spsUAAAAIAAJ |publisher=Indian Mathematical Society |date=1951 |language=en |page=61}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics |url=https://www.google.co.jp/books/edition/CRC_Concise_Encyclopedia_of_Mathematics/D_XKBQAAQBAJ |publisher=CRC Press |date=2002-12-12 |isbn=978-1-4200-3522-3 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein |page=2407}}</ref><ref>{{Cite journal|year=1934|title=1116.Purser's theorem|url=https://www.google.co.jp/books/edition/The_Mathematical_Gazette/hmDyAAAAMAAJ|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=18|page=421|publisher=Bell and Hyman, Limited}}</ref>。<!-- ベトナム、フィンランド語版は独立記事が存在する。 -->

{{Math|△''ABC''}}''とその外接円{{Mvar|O}}について、円{{Mvar|O'}}における{{Mvar|A,B,C}}''の接線長をそれぞれ''{{Mvar|AA',BB',CC'}}''とすれば、''{{Mvar|O}}''に円''{{Mvar|O'}}が接することと、''<math>BC\cdot AA' \pm CA\cdot BB' \pm AB \cdot CC'=0 </math>が成立することは[[同値]]である。

ケイシーの定理で4円のうち、3円を点にすることで得られる。

==脚注==

<references>
<ref name="Cas">
{{cite journal
 | last = Casey | first = J. | author-link = John Casey (mathematician)
 | journal = Proceedings of the Royal Irish Academy
 | jstor = 20488927
 | pages = 396–423
 | title = On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane
 | volume = 9
 | year = 1866}}
</ref>
<ref name="Zach">
{{cite journal
  | first= M.
  | last = Zacharias
  | journal = [[Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung]]
  | volume = 52
  | year = 1942
  |pages=79–89
  |title=Der Caseysche Satz}}
</ref>
<ref name="Bot">
{{cite book
  | first = O.
  | last = Bottema
  | title = Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde
  | publisher = (translation by Reinie Erné as ''Topics in Elementary Geometry'', Springer 2008,  of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987)
  | year = 1944}}
</ref>
<ref name="John">
{{cite book|和書 |first=Roger A. |last=Johnson |title=Modern Geometry |publisher=Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as ''Advanced Euclidean Geometry'') |year=1929 |author-link=ロジャー・アーサー・ジョンソン}}
</ref>
</references>

== 外部リンク ==
{{Commons category|Casey&#39;s theorem}}
* {{高校数学の美しい物語|1699|ケージーの定理とその証明}}
* {{MathWorld|urlname=CaseysTheorem|title=Casey's theorem}}
* {{MathWorld|title=Purser'sTheorem|id=PursersTheorem}}
* {{Cite web |url=https://artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=67398&p=397021&hilit=Purser#p397021 |title=Purser's theorem |access-date=2024-10-5 |publisher=AOPS |archive-url=https://web.archive.org/web/20140227145321/http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=67398&p=397021&hilit=Purser#p397021 |archive-date=2014-2-17}}
{{DEFAULTSORT:けいしいのていり}}
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:円に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:証明を含む記事]]