ケイシーの定理

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

数学におけるケイシーの定理（ケイシーのていり、テンプレート:Lang-en-short）または一般化トレミーの定理は、アイルランドの数学者ジョン・ケイシーにちなむユークリッド幾何学の定理である。

主張

$O$ を半径 $R$ の円とし、$O_1,O_2,O_3,O_4$ をこの順に $O$ に内接する、互いに交わらない4つの円とする。円 $O_i,O_j$ に外側の共通接線を引いたときの2接点の距離を $t_{ij}$ とすると、次の等式が成り立つ。

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}$

4つの円がみな1点にまで退化した場合、これはちょうどトレミーの定理になる。

証明

以下の証明は Zacharias に帰せられる。円 $O_i$ の半径を $R_i$ と表し、円 $O$ との内接点を $K_i$ とする。各円の中心を同じ記号 $O,O_i$ で表すことにする。 ピタゴラスの定理より、

$t_{ij}^2=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}-(R_i-R_j{)}^2$

この長さを点 $K_i,K_j$を用いて表したい。余弦定理を三角形 $O_{i}O{O}_j$ に用いると

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O{O}_i}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O{O}_j}}-2\overline{O{O}_i}\cdot \overline{O{O}_j}\cdot \cos \mathrm{\angle }{O}_{i}O{O}_j$

が得られる。円 $O,O_i$ が接していることから

$\overline{O{O}_i}=R-R_i,\mathrm{\angle }{O}_{i}O{O}_j=\mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j$

$C$ を円 $O$ の周上の点とする。正弦定理を三角形 $K_{i}C{K}_j$ に用いると

$\overline{K_i{K}_j}=2R\cdot \sin \mathrm{\angle }{K}_{i}C{K}_j=2R\cdot \sin \frac{\mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j}{2}$

が得られる。これより、

$\cos \mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j=1-2{\sin }^2\frac{\mathrm{\angle }{K}_{i}O{K}_j}{2}=1-2\cdot {\left(\frac{\overline{K_i{K}_j}}{2R}\right)}^2=1-\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{2R^2}$

以上を余弦定理の式に代入すると

$\begin{array}{cc}\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}& =(R-R_i{)}^2+(R-R_j{)}^2-2(R-R_i)(R-R_j)(1-\frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{2R^2})\\ & =(R-R_i{)}^2+(R-R_j{)}^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{R^2}\\ & =((R-R_i)-(R-R_j){)}^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K_i{K}_j}}}{R^2}\end{array}$

よって

$t_{ij}=\sqrt{\stackrel{2}{\stackrel{‾}{O_i{O}_j}}-(R_i-R_j{)}^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_i{K}_j}}{R}$

が得られる。円に内接する四角形 $K_1{K}_2{K}_3{K}_4$ にトレミーの定理を用いて変形すると

$\begin{array}{cc}& t_{12}{t}_{34}+t_{14}{t}_{23}\\ =& \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}(\overline{K_1{K}_2}\cdot \overline{K_3{K}_4}+\overline{K_1{K}_4}\cdot \overline{K_2{K}_3})\\ =& \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}(\overline{K_1{K}_3}\cdot \overline{K_2{K}_4})\\ =& t_{13}{t}_{24}\end{array}$

さらなる一般化

4つの円が最大の円に内側から接していなくともよい。実際、これらが外側から接している場合も考えることができて、その場合は以下のように定めればよい。

円 $O_i,O_j$ が円 $O$ の同じ側（いずれも内側か、または外側）から接しているならば、$t_{ij}$ は2円に対し外側から共通接線を引いたときの接点間の距離とする。

円 $O_i,O_j$ が円 $O$ の異なる側（一方が内側で他方が外側）から接しているならば、$t_{ij}$ は2円に対し内側から共通接線を引いたときの（共通接線に対し2円が反対側に位置するようなときの）接点間の距離とする。

ケイシーの定理の逆もまた成り立つ。つまり、この等式が成り立っているならば、4つの円はある1つの円に共通して接する。

応用

ケイシーの定理およびその逆は、ユークリッド幾何学の種々の命題の証明に用いることができる。例えば、フォイエルバッハの定理の最も短い証明はケイシーの定理の逆を利用するものであるテンプレート:Rp。

系

パーサーの定理

ケイシーの定理の系にはトレミーの定理の他、ファン・スコーテンの定理やパーサーの定理（パーサーのていり、テンプレート:Lang-en-short）がある。ジョン・パーサーにより発見された。パーサーの定理の主張は次の通り。

テンプレート:Mathとその外接円テンプレート:Mvarについて、円テンプレート:Mvarにおけるテンプレート:Mvarの接線長をそれぞれテンプレート:Mvarとすれば、テンプレート:Mvarに円テンプレート:Mvarが接することと、$BC\cdot A{A}^{\prime }\pm CA\cdot B{B}^{\prime }\pm AB\cdot C{C}^{\prime }=0$が成立することは同値である。

ケイシーの定理で4円のうち、3円を点にすることで得られる。

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Cite web