ケルビンの渦定理のソースを表示

{{連続体力学}}
'''ケルビンの渦定理''' (ケルビンのうずていり、{{lang-en-short|Kelvin's circulation theorem}}) 、あるいは、'''ケルビンの循環定理'''（ケルビンのじゅんかんていり）とは、初代ケルヴィン男爵[[ウィリアム・トムソン]]によって導出された、[[流体力学]]における定理である。

==定理==
<blockquote>[[非粘性]][[バロトロピック流体]]の[[保存力|保存外力]]下での流れにおいて、[[流体]]とともに動く閉曲線に沿う[[循環 (流体力学)|循環]]は時間的に不変である<ref name="巽">
{{cite book|和書
| author=巽友正 
| title=流体力学
| publisher=培風館
| edition=1982年 4月15日初版発行
| isbn=456302421X
}} 
</ref>。
</blockquote>
==関係式==
数式では
:<math>
\frac{\mathrm{D}\mathit{\Gamma}}{\mathrm{D}t} = 0
</math>
と表現される。

ここで、[[物質微分]] <math>\mathrm{D}/\mathrm{D}t</math> は流体と一緒に動く観測者から見た時間変化率、循環 <math>\it\Gamma</math> は[[流体粒子|流体要素]]から成る(流体と一緒に動く)閉曲線 <math>C(t)</math> 上の流体の[[速度]] <math>\boldsymbol{v}</math> の[[線積分]]
:<math>
\mathit{\Gamma}(t) = \oint_{C(t)} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}
</math>
を表す。
==ケルビンの渦定理の証明==
:{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!
|-
|
保存外力のもとでの非粘性バロトロピック流体の支配方程式は[[オイラー方程式 (流体力学)]]
:<math>
\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}}{\mathrm{D} t} = -\nabla \int {\mathrm{d}p \over \rho} - \nabla \Omega
</math>
で表される。ここで、 <math>\rho</math> は[[密度]]、 <math>p</math> は[[圧力]]、 <math>\Omega</math> は外力の[[ポテンシャル]]を表す。なお、バロトロピック性( <math>\rho=\rho(p)</math> )より
:<math>
-{1 \over \rho}\nabla p =  -\nabla \int {\mathrm{d}p \over \rho}
</math>
となることを用いた。

循環の定義式の物質微分をとると
:<math> 
\frac{\mathrm{D}\it\Gamma}{\mathrm{D} t} 
= \oint_{C(t)} \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}}{\mathrm{D}t} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}
+ \oint_{C(t)} \boldsymbol{v} \cdot  \frac{\mathrm{D} \mathrm{d}\boldsymbol{l}}{\mathrm{D}t}
</math>
となる。
第1項に支配方程式を代入すると、
:<math>\begin{align}
\oint_{C(t)} \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}}{\mathrm{D}t} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}
&= - \oint_{C(t)}\nabla \left( \int {\mathrm{d}p \over \rho} +  \Omega\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}\\
&= - \left[ \int {\mathrm{d}p \over \rho} +  \Omega\right]_{C(t)}
\end{align}</math>
また、第2項は
:<math>\begin{align} 
\oint_{C(t)} \boldsymbol{v} \cdot  \frac{\mathrm{D} \mathrm{d}\boldsymbol{l}}{\mathrm{D}t}
&= \oint_{C(t)} \boldsymbol{v} \cdot  \mathrm{d}\boldsymbol{v}\\
&= \oint_{C(t)} \mathrm{d}\left( {|\boldsymbol{v}|^2 \over 2} \right)\\
&= \left[
 {|\boldsymbol{v}|^2 \over 2}
\right]_{C(t)}
\end{align}</math>
となるので、
:<math>\begin{align}
\frac{\mathrm{D}\it\Gamma}{\mathrm{D}t} 
&= \left[
 {|\boldsymbol{v}|^2 \over 2} - \int {\mathrm{d}p \over \rho} -  \Omega
\right]_{C(t)}
\end{align}</math>
となる。ただし、<math>[f]_{C}</math> は閉曲線 <math>C</math> を一周したときの <math>f</math> の差を表す。また、
:<math>\begin{align} 
\left. 
\frac{\mathrm{D} \mathrm{d}\boldsymbol{l}}{\mathrm{D}t} 
\right|_{\boldsymbol{r}}
&=\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{r}'}{\mathrm{D}t}
 -\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{r} }{\mathrm{D}t} & (\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r} = \left.\mathrm{d}\boldsymbol{l}\right|_{\boldsymbol{r}})\\
&=\boldsymbol{v}(\boldsymbol{r}')-\boldsymbol{v}(\boldsymbol{r} )\\
&=\left.\mathrm{d}\boldsymbol{v}\right|_{\boldsymbol{r}}
\end{align}</math>
であることを用いた。

速度、圧力、密度、ポテンシャルは座標の[[連続 (数学)|連続]][[関数 (数学)#多変数関数と多価関数|一価関数]]であるので、
:<math>
\frac{\mathrm{D}\it\Gamma}{\mathrm{D}t} = 0
</math>
が証明された。
|}
<!--
The theorem also applies to a rotating frame, with a rotation vector <math> \boldsymbol{\Omega} </math>, if the 
circulation is modified thus:
:<math>
\Gamma(t) = \oint_C (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}
</math>
Here <math> \boldsymbol{r} </math> is the position of the area of fluid. From Stoke's theorem, this is:
:<math>
\Gamma(t) = \int_A \boldsymbol{\nabla} \times  (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n} \, \mathrm{d}S 
=  \int_A (\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{u} + 2 \boldsymbol{\Omega}) \cdot \boldsymbol{n} \, \mathrm{d}S
</math>
-->

== 脚注 ==
<references />

==  関連項目 ==
*[[循環 (流体力学)]]
*[[ヘルムホルツの渦定理]]

{{DEFAULTSORT:けるひんのうすていり}}
[[Category:うず]]
[[Category:ウィリアム・トムソン]]
[[Category:物理学のエポニム]]
[[Category:流体力学の方程式]]