ゲルフォントの定数のソースを表示

{{Expand English|Gelfond's constant|date=2024年5月}}
'''ゲルフォントの定数'''（ゲルフォントのていすう、{{lang-en|Gelfond's constant}}）は[[数学定数]]の一つで、[[ネイピア数]] ''e'' と[[円周率]] {{π}} を用いて ''e''{{sup|{{π}}}} と表される数である。[[小数]]表示は
:''e''{{sup|{{π}}}} = 23.14069 26327 79269 00572 90863 67948 54738 02661 06242 60021 19934 45046 40952 43423 50690 45278 35169 71997 06754 92196 76… ({{OEIS|A039661}})
である。この数は[[ロシア]]の[[数学者]]{{仮リンク|アレクサンドル・ゲルフォント|en|Alexander Gelfond|ru|Гельфонд, Александр Осипович}}にちなんで名付けられた。ゲルフォントの定数は ''e'' や {{π}} と同様に[[超越数]]である。このことは[[ゲルフォント＝シュナイダーの定理]]から証明できる。

== 数学的性質 ==
ここで ''i'' を[[虚数単位]]にするとき

''e''{{sup|{{π}}}} は[[オイラーの公式]]より
:<math>e^{ix} =\cos x+i\sin x</math>
から以下のように変形できる。<math>e^{\pi} =(e^{i \pi} )^{-i} =(\cos \pi +i\sin \pi )^{-i} =(-1)^{-i} </math>

ただし[[iのi乗]]同様<math>e^{3\pi} </math>、<math>e^{5\pi} </math>…や<math>e^{-\pi} </math>、<math>e^{-3\pi} </math>…などの<math>e^{(2k+1)\pi} </math>(kは任意の整数)でもこのような変形ができてしまうため<math>(-1)^{-i} </math>が多価であり1つの実数に定まらない事に注意が必要である。

ゲルフォント＝シュナイダーの定理は 「''a'' を 0, 1 でない[[代数的数]]、''b'' を[[有理数]]でない代数的数とすると、''a{{sup|b}}'' は超越数である」という内容である。''a'' = &minus;1, ''b'' = &minus;''i'' はこの条件を満たすので、(&minus;1){{sup|&minus;''i''}} は超越数である。すなわち ''e''{{sup|{{π}}}} は超越数である。

ちなみに、''e{{sup|e}}'', {{π}}{{sup|{{π}}}}, {{π}}{{sup|''e''}} などは[[有理数]]であるのか[[無理数]]であるのか[[超越数]]であるのか否かは証明されていない。

<math>k_0 =\frac{1}{\sqrt{2}}</math> として
:<math>k_n =\frac{1-\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}{1+\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}</math>
と定義されるとき、 [[数列]]
:<math>\left( \frac{4}{k_{n+1}} \right)^{2^{-n}}</math> 
は ''e''{{sup|{{π}}}} に[[収束]]する。

''e''{{sup|{{π}}}} &minus; {{π}} は[[ほとんど整数]]である。
:''e''{{sup|{{π}}}} &minus; {{π}} = 19.99909997918947…

== 関連項目 ==
* [[ゲルフォント＝シュナイダーの定理]]
* [[無理数]]
* [[超越数]]
* [[:en:Mathematical coincidence]]（数学的偶然の一致）

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|urlname=GelfondsConstant|title=Gelfond's Constant}}

{{DEFAULTSORT:けるふおんとのていすう}}
[[Category:数学定数]]
[[Category:円周率]]
[[Category:ネイピア数]]
[[Category:超越数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]