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'''ゲルマン行列'''（ゲルマンぎょうれつ, {{lang-en-short|Gell-Mann matrices}}）とは、3次[[特殊ユニタリ群]]{{math|SU(3)}} の[[リー群|無限小変換の生成子]]をなす8つの複素行列の組<ref>G.B. Arfken, H.J. Weber and F.E. Harris (2012), chapter.4</ref><ref>H. Georgi (1999), chapter.7-9</ref>。{{math|SU(3)}} に付随する[[リー代数]]の標準的な[[基底 (線型代数学)|基底]]として、用いられる。ゲルマン行列は[[ハドロン]]の分類において、{{math|SU(3)}}対称性に基づく{{仮リンク|八道説|en|Eightfold way (physics)}}を提唱した米国の物理学者[[マレー・ゲルマン]]によって、導入された<ref>Murray Gell-Mann,"Symmetries of Baryons and Mesons", ''Phys. Rev.'' '''125''', 1067 (1962) {{doi|10.1103/PhysRev.125.1067}}</ref>。

==定義と基本的な性質==
次式で定義される8個の{{math|3&times;3}}複素行列の組をゲルマン行列という。

:<math>
\lambda_1 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\quad\lambda_2 =
\begin{bmatrix}
0 & -i & 0 \\
i & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
</math>
:<math>
\lambda_3 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\quad \lambda_4 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
</math>
:<math>
\lambda_5 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & -i \\
0 & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\quad\lambda_6 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
</math>
:<math>\lambda_7 =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -i \\
0 & i & 0 \\
\end{bmatrix}
\quad\lambda_8 =
\frac{1}{\sqrt{3}}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -2 \\
\end{bmatrix}
</math>

ここで、{{math|''&lambda;''<sub>1</sub>, ''&lambda;''<sub>2</sub>, ''&lambda;''<sub>3</sub>}} は[[線型部分空間|部分空間]]に作用する[[パウリ行列]] {{math|''&sigma;''<sub>1</sub>, ''&sigma;''<sub>2</sub>, ''&sigma;''<sub>3</sub>}} を

:<math>
\lambda_a=
\begin{bmatrix}
\sigma_a& 0 \\
0  & 0
\end{bmatrix}
\quad (a=1,2,3)
</math>

の形で含んでおり、ゲルマン行列はパウリ行列の一般化となっている<ref>パウリ行列は {{math|SU(2)}} の生成子であり、ゲルマン行列は {{math|SU(3)}} の生成子である。</ref>。

ゲルマン行列 {{math|''&lambda;<sub>a</sub>'' (''a''{{=}}1,&hellip;,8)}} は[[エルミート行列]]かつ[[トレース (数学)|トレース]]はゼロとなる。
:<math>
\lambda_a^{\,\dagger}=\lambda_a
</math>
:<math>
\operatorname{Tr}(\lambda_a)=0
</math>

また、二つのゲルマン行列の積のトレースは正規化されており、次の関係式を満たす<ref>リー代数における[[カルタン計量]]に対応する。</ref>。

:<math>
\operatorname{Tr}(\lambda_a\lambda_b)=2 \delta_{ab}
</math>

但し、{{math|''&delta;<sub>ab</sub>''}}は[[クロネッカーのデルタ]]である。

==交換関係・反交換関係==
ゲルマン行列の[[交換関係 (量子力学)|交換関係]] {{math|[''&lambda;<sub>a</sub>'', ''&lambda;<sub>b</sub>'']{{=}}''&lambda;<sub>a</sub> &lambda;<sub>b</sub>''-''&lambda;<sub>b</sub> &lambda;<sub>a</sub>''}} は次のようなゲルマン行列の[[線形結合]]で表される。

:<math>
[\lambda_a, \lambda_b]=2i \sum_{c=1}^{8}f_{abc}\lambda_c
</math>

ここで、{{math|''f<sub>abc</sub>''}} は添え字 {{math|''a'', ''b'', ''c''}} について、完全反対称な実係数である。{{math|''f<sub>abc</sub>''}} のうち、ゼロでないものは、{{math|''a'' < ''b'' < ''c''}} を満たすもので代表させて表すと、次のようになる。

:<math>
f_{123}=1
</math>
:<math>
f_{147}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=\frac{1}{2}
</math>
:<math>
f_{156}=f_{367}=-\frac{1}{2}
</math>
:<math>
f_{458}=f_{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}
</math>

一方、[[反交換関係]] {{math|{''&lambda;<sub>a</sub>'', ''&lambda;<sub>b</sub>''{{)}}{{=}}''&lambda;<sub>a</sub> &lambda;<sub>b</sub>''+''&lambda;<sub>b</sub> &lambda;<sub>a</sub>''}} は次の形をとる。

:<math>
\{ \lambda_a, \lambda_b \}=\frac{4}{3}\delta_{ab} +2\sum_{i=1}^{8}d_{abc}\lambda_c
</math>

ここで、{{math|''d<sub>abc</sub>''}} は添え字{{math|''a'', ''b'', ''c''}} について、完全対称な実係数である。{{math|''d<sub>abc</sub>''}} のうち、ゼロでないものを{{math|''a'' < ''b'' < ''c''}} を満たすもので代表させて表すと、

:<math>
d_{118}=d_{228}=d_{338}=\frac{1}{\sqrt{3}}
</math>
:<math>
d_{888}=-\frac{1}{\sqrt{3}}
</math>
:<math>
d_{146}=d_{157}=d_{256}=d_{344}=d_{355}=\frac{1}{2}
</math>
:<math>
d_{247}=d_{366}=d_{377}=-\frac{1}{2}
</math>
:<math>
d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}
</math>

==SU(3)の生成子==
3次特殊ユニタリ群{{math|SU(3)}} は[[行列式]]が１となる{{math|3&times;3}}[[ユニタリ行列]]から構成される。{{math|SU(3)}} は[[線形リー群]]であり、8個のゲルマン行列はその一次独立な生成子である。但し、物理学の慣習により、生成子はエルミート行列になるようにとるため、ゲルマン行列はそれ自身[[リー代数]] {{math|&#120112;&#120114;(3)}} の元ではなく、ゲルマン行列に {{math|''i''{{=}}{{sqrt|-1}}}} を乗じたものが {{math|&#120112;&#120114;(3)}} の元となる。通常、{{math|SU(3)}}の生成子としては、{{math|''&lambda;<sub>a</sub>''}} の代わりに{{math|1/2}} を乗じた {{math|''T<sub>a</sub>''}} が用いられる。

:<math>
T_a=\frac{\lambda_a}{2}
</math>

[[コンパクト空間|コンパクト]]で[[連結空間|連結]]なリー群{{math|SU(3)}}の任意の元は[[リー環の指数写像]]によって

:<math>
e^{i\sum_{a=1}^{8}\theta_aT_a} \quad (\theta_a \in \mathbb{R}, \, a=1, \cdots ,8)
</math>

の形で与えられる。

ゲルマン行列 {{math|''&lambda;<sub>a</sub>''}}、 または {{math|''T<sub>a</sub>''}} の線形結合で張られる線形空間は[[交換子#環論における交換子|交換子積]]

:<math>
[T_a, T_b]=T_aT_b- T_bT_a
</math>

により、リー代数となり、その構造は

:<math>
[T_a, T_b]=i \sum_{i=1}^{8}f_{abc}T_c
</math>

で定まる'''構造定数''' {{math|''f<sub>abc</sub>''}} で規定される<ref>{{math|''f<sub>abc</sub>''}} は[[ゲルマン行列#交換関係・反交換関係|交換関係・反交換関係の節]]で述べたものと同一である。</ref>。このリー代数は[[コンパクト空間|コンパクト]]・リー代数であるため、{{math|''f<sub>abc</sub>''}} は添え字{{math|''a'', ''b'', ''c''}} について、完全反対称である。

{{math|{''T''<sub>1</sub>,''T''<sub>2</sub>,''T''<sub>3</sub>{{)}}}}の組は、

:<math>
[T_1, T_2]=iT_3, \quad [T_2, T_3]=iT_1, \quad [T_3, T_1]=iT_2
</math>

と交換子積について閉じており、{{math|SU(2)}}に対応する部分リー代数をなす。これ以外にもいくつかの組は{{math|SU(2)}}に対応する部分リー代数をなす。

このリー代数の全ての元と可換になる[[カシミヤ演算子]]は

:<math>
C_1=\sum_{a} T_a^{\, 2}
</math>
:<math>
C_2=\sum_{a} d_{abc}T_aT_bT_c
</math>

で与えられる。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* George B. Arfken, Hans J. Weber and Frank E. Harris, ''Mathematical Methods for Physicists (7th ed.)'' : Academic Press (2012). ISBN 978-0123846549
* H. Georgi, ''Lie Algebras in Particle Physics: from Isospin To Unified Theories (2nd ed.)'', Westview Press (1999). ISBN 978-0738202334.

== 関連項目 ==
* [[対称性 (物理学)]]
* [[ハドロン物理学]]
** [[バリオン数]], [[フレーバー (素粒子)|フレーバー]], [[色荷|カラー]]
* [[SU(3)]]

{{DEFAULTSORT:けるまんきようれつ}} 
[[Category:行列]]
[[Category:素粒子物理学]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]