ゲルマン＝ロウの定理のソースを表示

[[場の量子論]]において、'''ゲルマン＝ロウの定理'''（ゲルマンロウのていり、{{lang-en-short|Gell-Mann and Low theorem}}）とは、[[断熱的]]に[[基本相互作用|相互作用]]を導入した際に、相互作用がある系の[[固有状態]]が相互作用がない系の固有状態の時間発展と対応づけられることを主張する定理<ref name ="Fetter_Wallecka2003">Alexander L. Fetter and John Dirk Walecka (2003)</ref>。ゲルマン＝ロウの公式とも呼ばれる。1951年に米国の物理学者[[マレー・ゲルマン]]と[[フランシス・S・ロウ]]によって示された<ref name ="Gellmann_Low1951">Gell-Mann and F. Low, ''Phys. Rev.'', '''84''', 350 (1951)</ref>。場の量子論では[[相関関数|n点相関関数]]は[[ハイゼンベルク描像]]における[[場の演算子]]の[[時間順序積]]の[[真空期待値]]として定義されるが、ゲルマン＝ロウの定理により、[[相互作用描像]]での真空期待値として計算することが可能になる<ref name ="Stone2000">Michael Stone (2000)</ref>。

== 定理 ==
[[ハミルトニアン]]<math>H</math>は<math>H=H_0+V</math>と固有値、固有状態が求まる可解なハミルトニアンの項<math>H_0</math>と相互作用項<math>V</math>に分けられるとする。このとき、次のように仮想的に相互作用の断熱的なオン・オフを行う。

:<math>H(t)=H_0+e^{-\epsilon |t|}\,V</math>

ここで<math>\epsilon</math>は正の微小量であり、計算の最後に<math>\epsilon \to 0+</math>とする極限をとるものとする。無限大の過去<math>t=-\infty</math>では<math>H(-\infty)</math>は相互作用がない<math>H_0</math>である。<math>t=-\infty</math>から断熱的な変化として、徐々に相互作用を印加していくと、<math>t=0</math>で<math>H(0)</math>は<math>H_0+V</math>に一致する。<math>t=0</math>からは断熱的に相互作用を切っていき、無限大の未来<math>t=+\infty</math>では<math>H(+\infty)</math>は再び相互作用がない<math>H_0</math>に戻る。<math>|\Psi_0 \rang</math>を<math>H_0</math>の固有値<math>E_0</math>の固有状態とし、次の状態を導入する。

:<math>
|\Psi_\epsilon^{\pm} \rang :=\frac{U_{\epsilon\, I}(0, 
\pm \infty)|\Psi_0 \rang}{\lang \Psi_0| U_{\epsilon\, I}(0, 
\pm \infty)|\Psi_0 \rang}
</math>

ここで、<math>U_{\epsilon \, I}(t, s)</math>は相互作用表示における時間発展作用素

:<math>U_{\epsilon \, I}(t, s) = e^{+\frac{i}{\hbar}H_0t} U_{\epsilon}(t,s) e^{-\frac{i}{\hbar}H_0t}</math>

である。

ゲルマン＝ロウの定理は、<math>\epsilon \to 0+</math>とする極限をとった際に、<math>|\Psi_\epsilon^{\pm} \rang</math>の極限<math>|\Psi^{\pm} \rang</math>が存在すると、<math>|\Psi^{\pm} \rang</math>が<math>H=H_0+V</math>の固有状態となることを主張する。

== 相関関数の計算 ==
<math>\phi(x)</math>をハイゼンベルク描像における場の演算子とする。相互作用のない固有状態として、[[基底状態]]、すなわち、[[真空状態|自由真空]]<math>|0 \rang {}_0</math>をとる。<math>|0 \rang {}_0</math>に対し、相互作用のある系での[[真空状態|真空]]を<math>|0 \rang</math>とすると、ゲルマン＝ロウの定理により、次の関係式が得られる。

<math>
\lang 0 |T \phi(x_1)\phi(x_2) \cdots \phi(x_n)  |0 \rang =
\frac{ {}_0 \lang 0 |T \phi_I(x_1)\phi_I(x_2) \cdots \phi_I(x_n) \exp{ \biggl( -\frac{i}{\hbar} \int V_I(t)dt \biggr)} |0 \rang {}_0 }{ {}_0 \lang 0 |T \exp{ \biggl( -\frac{i}{\hbar} \int V_I(t)dt \biggr)} |0 \rang {}_0 }
</math>

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
;論文
* M. Gell-Mann and F. Low, "Bound States in Quantum Field Theory", ''Phys. Rev.'', '''84''', 350 (1951) {{doi|10.1103/PhysRev.84.350}}
;書籍
* Alexander L. Fetter and John Dirk Walecka, ''Quantum Theory of Many-Particle Systems'', Dover Publications (2003) ISBN 978-0486428277
* Michael Stone, ''The Physics of Quantum Fields (Graduate Texts in Contemporary Physics)'', Springer (2000) ISBN 978-0387989099 

== 関連項目 ==
* [[場の量子論]]

{{DEFAULTSORT:けるまんろうのていり}}
[[Category:場の量子論]]
[[Category:量子力学の定理]]
[[Category:物理学のエポニム]]