ゲーゲンバウアー多項式のソースを表示

[[数学]]において、'''ゲーゲンバウアー多項式'''（ケーゲンバウアーたこうしき、{{lang-en-short|Gegenbauer polynomials}}）または'''超球多項式''' (ultraspherical polynomials) <math>C_n^{(\alpha)}(x)</math> とは、{{仮リンク|レオポルド・ベルンハルト・ゲーゲンバウアー|en|Leopold Gegenbauer}} (1849–1903) にちなんで命名された、区間 <math>[-1,1]</math> 上で定義される重み関数 <math>(1-x^2)^{\alpha-1/2}</math> の[[直交多項式]]をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、[[ルジャンドル多項式]]及び[[チェビシェフ多項式]]の一般事例であり、{{仮リンク|ヤコビ多項式|en|Jacobi polynomials}}の特殊事例である。

== 性質 ==
<gallery widths="300" heights="200" class="float-right">
 Mplwp gegenbauer Cn05a1.svg|''α'' =1 の場合のゲーゲンバウアー多項式
 Mplwp gegenbauer Cn05a2.svg|''α'' =2 の場合のゲーゲンバウアー多項式
 Mplwp gegenbauer Cn05a3.svg|''α'' =3 の場合のゲーゲンバウアー多項式
</gallery>
* 次の[[母関数]]により定義される：
::<math>
\begin{align}
\frac{1}{(1-2xt+t^2)^\alpha} &= \sum_{n=0}^\infty C_n^{(\alpha)}(x) t^n \\
\frac{1-xt}{(1-2xt+t^2)^{\alpha+1}} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{n+2\alpha}{2\alpha} C_n^{(\alpha)}(x) t^n 
\end{align}
</math>
* 次の[[漸化式]]を満たす：
::<math>
\begin{align}
C_0^{(\alpha)}(x) & = 1 \\
C_1^{(\alpha)}(x) & = 2 \alpha x \\
C_n^{(\alpha)}(x) & = \frac{1}{n}\left[2x(n+\alpha-1)C_{n-1}^{(\alpha)}(x) - (n+2\alpha-2)C_{n-2}^{(\alpha)}(x)\right]
\end{align}
</math>
* 次の[[常微分方程式]]（ゲーゲンバウアーの微分方程式）を満たす：
::<math>(1-x^{2})y''-(2\alpha+1)xy'+n(n+2\alpha)y=0</math>
* [[ロドリゲスの公式]]により次のように導出できる：
::<math>C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-2)^n}{n!}\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}(1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right]</math>
* 次の直交関係を満たす：
::<math>\int_{-1}^{1}C_n^{(\alpha)}(x)C_m^{(\alpha)}(x)(1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}}\,dx = \frac{\pi 2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}\delta_{nm}</math>
* ある[[角度]]の[[余弦]]を引数とする関数値について、次式が成り立つ：
::<math>C_n^{(\alpha)}(\cos\theta) = \sum_{r=0}^{\infty}\frac{\Gamma(\alpha+r)\Gamma(n+\alpha-r)}{r!(n-r)![\Gamma(\alpha)]^2}\cos(2r-n)\theta</math>
* <math>\alpha=1/2</math> の場合がルジャンドル多項式に、<math>\alpha=1</math> の場合が第二種チェビシェフ多項式に相当する。

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書|last1=森口|first1=繁一|last2=宇田川|first2=銈久|last3=一松|first3=信|title=岩波数学公式 Ⅲ|edition=新装版|date=1987|isbn=4-00-005509-7}}
* {{Cite book|editor=Milton Abramowitz; Irene A. Stegun|date=1965-06-01|title=[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]|series=Dover Books on Mathematics|publisher=Dover Publications|isbn=0-486-61272-4}}
* {{MathWorld|GegenbauerPolynomial|Gegenbauer Polynomial}}

== 関連項目 ==
* [[超球面]]

{{DEFAULTSORT:けけんはうあたこうしき}}
[[Category:微分方程式]]
[[Category:直交多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]