コルモゴロフの拡張定理のソースを表示

{{Expand English|Kolmogorov extension theorem|date=2024年5月}}
[[数学]]の[[測度論]]における'''コルモゴロフの拡張定理'''（コルモゴロフのかくちょうていり、{{Lang-en-short|Kolmogorov extension theorem}}）とは、全ての自然数{{mvar|n}} に対して、{{mvar|n}}次元[[ユークリッド空間]] <math>\mathbb{R}^n</math> の[[ボレル集合]]体 <math>\mathcal{B} ( \mathbb{R}^n )</math> 上の測度 <math>m_n</math> が定義され、その測度列 <math>( m_n )_{n \in \mathbb{N}}</math> が両立条件を満たしている（順に拡張されている）ならば、測度 <math>m_n</math> は可算無限[[直積集合|直積]] <math>\mathbb{R}^{\infty}</math> 上に一意に拡張できることを述べた[[定理]]である。

つまり、自然数{{mvar|n}} に対して
:[[測度論|測度空間]] <math>( \mathbb{R}^n , \mathcal{B} ( \mathbb{R}^n ) , m_n )</math>
:（<math>\mathbb{R}^n</math> は実数全体からなる集合 {{mvar|n}}個の直積、<math>\mathcal{B}</math> は[[ボレル集合]]体、<math>m_n : \mathcal{B} ( \mathbb{R}^n ) \rightarrow [0, \infty]</math> は[[測度論|測度]]）
が定義され、両立条件：
:<math>m_n (A) = m_{n+k} (A \times \mathbb{R}^k) \quad (A \in \mathcal{B} ( \mathbb{R}^n ), k \in \mathbb{N} )</math>
を満たしているとき、ある測度 <math>m: \mathcal{B} (\mathbb{R}^{\infty}) \rightarrow [0, \infty ]</math> で、
:<math>m(A \times \mathbb{R}^{\infty} ) = m_n (A) \quad (A \in \mathcal{B} ( \mathbb{R}^n ))</math>
を満たすものが一意に存在する。ここで、<math>A \subset \mathbb{R}^n</math> を <math>\mathbb{R}^{\infty}</math> に[[埋め込み (数学)|埋め込んだ]]集合 <math>A \times \mathbb{R}^{\infty} \subset \mathbb{R}^{\infty}</math> を {{mvar|A}} の'''筒集合'''（柱状集合、{{Lang-en-short|cylinder set}}）という。

[[ロシア]]（[[ソビエト連邦|ソビエト]]）の数学者[[アンドレイ・コルモゴロフ]]の名に因む<ref>[http://mathfin.web.fc2.com/prob/imi_prob10.html 確率測度の拡張] Mathematical Finance</ref>。

本定理により、[[コイントス]]やさいころを何回も投げるといった[[ベルヌーイ試行|反復試行]]の確率を、無限回の操作に対しても考えることができる。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[カラテオドリの拡張定理]]
* [[ホップの拡張定理]]
* [[前測度]]

{{Mathanalysis-stub}}
{{確率論}}

{{DEFAULTSORT:こるもころふのかくちようていり}}
[[Category:測度論の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]