コルモゴロフの拡張定理

テンプレート:Expand English 数学の測度論におけるコルモゴロフの拡張定理（コルモゴロフのかくちょうていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、全ての自然数テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar次元ユークリッド空間 $ℝ^{n}$ のボレル集合体 $ℬ (ℝ^{n})$ 上の測度 $m_{n}$ が定義され、その測度列 $(m_{n})_{n \in ℕ}$ が両立条件を満たしている（順に拡張されている）ならば、測度 $m_{n}$ は可算無限直積 $ℝ^{\infty}$ 上に一意に拡張できることを述べた定理である。

つまり、自然数テンプレート:Mvar に対して

(ℝ^{n}, ℬ (ℝ^{n}), m_{n})

（

ℝ^{n}

は実数全体からなる集合テンプレート:Mvar個の直積、

ℬ

m_{n} : ℬ (ℝ^{n}) \to [0, \infty]

は測度）

が定義され、両立条件：

m_{n} (A) = m_{n + k} (A \times ℝ^{k}) (A \in ℬ (ℝ^{n}), k \in ℕ)

を満たしているとき、ある測度 $m : ℬ (ℝ^{\infty}) \to [0, \infty]$ で、

m (A \times ℝ^{\infty}) = m_{n} (A) (A \in ℬ (ℝ^{n}))

を満たすものが一意に存在する。ここで、 $A \subset ℝ^{n}$ を $ℝ^{\infty}$ に埋め込んだ集合 $A \times ℝ^{\infty} \subset ℝ^{\infty}$ をテンプレート:Mvar の筒集合（柱状集合、テンプレート:Lang-en-short）という。

本定理により、コイントスやさいころを何回も投げるといった反復試行の確率を、無限回の操作に対しても考えることができる。

脚注