コルモゴロフ自己同型のソースを表示

[[数学]]において、'''コルモゴロフ自己同型'''（コルモゴロフじこどうけい、{{Lang-en-short|Kolmogorov automorphism}}）あるいは '''''K''-自己同型'''または '''''K''-シフト'''、 '''''K''-システム''' などと呼ばれるものは、[[コルモゴロフの0-1法則]]を満たすある{{仮リンク|標準確率空間|en|standard probability space}}上で定義された可逆な[[測度保存力学系|測度保存]][[自己同型]]のことを言う<ref>Peter Walters, ''An Introduction to Ergodic Theory'', (1982) Springer-Verlag ISBN 0-387-90599-5</ref>。すべての{{仮リンク|ベルヌーイスキーム|label=ベルヌーイ自己同型|en|Bernoulli scheme}}は ''K''-自己同型である（'''''K''-性'''を持つとも言う）が、その逆は成り立たない。多くの[[エルゴード性|エルゴード]][[力学系]]は ''K''-性を持つことが示されているが、より近年の研究ではそれらの多くは実際、ベルヌーイ自己同型であることが示されている。

''K''-性の定義は一般的であるように思われるが、それはベルヌーイ自己同型とは確かに異なるものである。特に[[オルンシュタインの同型定理]]は、''K''-システムに対しては適用されず、したがって[[測度保存力学系|エントロピー]]はそれらのシステムを分類する上で十分ではない。すなわち、同一のエントロピーを持つ非同型な ''K''-システムが非可算個存在する。本質的に、''K''-システムの集まりは大きく、乱雑で分類されていないものとなる。一方、[[オルンシュタインの同型定理|オルンシュタイン理論]]によって ''B''-自己同型は「完全に」表現されている。

== 正式な定義 ==

<math>(X, \mathcal{B}, \mu)</math> を{{仮リンク|標準確率空間|en|standard probability space}}とし、<math>T</math> を可逆な[[測度保存力学系|測度保存変換]]とする。このとき <math>T</math> が ''K''-自己同型、''K''-変換あるいは ''K''-シフトであるとは、次の三つの性質を満たす部分 [[完全加法族|σ-集合代数]] <math>\mathcal{K}\subset\mathcal{B}</math> が存在することを言う：

:<math>\mbox{(1) }\mathcal{K}\subset T\mathcal{K}</math>

:<math>\mbox{(2) }\bigvee_{n=0}^\infty T^n \mathcal{K}=\mathcal{B}</math>

:<math>\mbox{(3) }\bigcap_{n=0}^\infty T^{-n} \mathcal{K} = \{X,\varnothing\}</math>

ここで記号 <math>\vee</math> は σ-集合代数の合併を表し、<math>\cap</math> は共通部分を表す。ここで等号は[[ほとんど (数学)|ほとんど至る所]]で成立するものと解釈される。すなわち、高々[[測度]]ゼロの集合の上でのみ異なるものとなる。

==性質==

σ-集合代数は自明でないと仮定する。すなわち、<math>\mathcal{B}\ne\{X,\varnothing\}</math> とする。このとき <math>\mathcal{K}\ne T\mathcal{K}</math> となる。すると ''K''-自己同型は{{仮リンク|混合 (数学)|label=強混合|en|mixing (mathematics)}}であることが従う。

すべての{{仮リンク|ベルヌーイスキーム|label=ベルヌーイ自己同型|en|Bernoulli scheme}}は ''K''-自己同型であるが、その逆は成立しない。

== 注釈 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* Christopher Hoffman, "[http://www.ams.org/journals/tran/1999-351-10/S0002-9947-99-02446-0/ A K counterexample machine]", ''Trans. Amer. Math. Soc.'' '''351''' (1999), pp&nbsp;4263–4280.

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[[Category:エルゴード理論]]
[[Category:数学に関する記事]]