コルモゴロフ自己同型

数学において、コルモゴロフ自己同型（コルモゴロフじこどうけい、テンプレート:Lang-en-short）あるいは K-自己同型または K-シフト、 K-システム などと呼ばれるものは、コルモゴロフの0-1法則を満たすあるテンプレート:仮リンク上で定義された可逆な測度保存自己同型のことを言う。すべてのテンプレート:仮リンクは K-自己同型である（K-性を持つとも言う）が、その逆は成り立たない。多くのエルゴード力学系は K-性を持つことが示されているが、より近年の研究ではそれらの多くは実際、ベルヌーイ自己同型であることが示されている。

K-性の定義は一般的であるように思われるが、それはベルヌーイ自己同型とは確かに異なるものである。特にオルンシュタインの同型定理は、K-システムに対しては適用されず、したがってエントロピーはそれらのシステムを分類する上で十分ではない。すなわち、同一のエントロピーを持つ非同型な K-システムが非可算個存在する。本質的に、K-システムの集まりは大きく、乱雑で分類されていないものとなる。一方、オルンシュタイン理論によって B-自己同型は「完全に」表現されている。

正式な定義

$(X,ℬ,\mu )$ をテンプレート:仮リンクとし、$T$ を可逆な測度保存変換とする。このとき $T$ が K-自己同型、K-変換あるいは K-シフトであるとは、次の三つの性質を満たす部分 σ-集合代数 $𝒦\subset ℬ$ が存在することを言う：

$\text{(1) }𝒦\subset T𝒦$

$\text{(2) }\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigvee }}{T}^n𝒦=ℬ$

$\text{(3) }\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^{-n}𝒦=\{X,\varnothing \}$

ここで記号 $\vee$ は σ-集合代数の合併を表し、$\cap$ は共通部分を表す。ここで等号はほとんど至る所で成立するものと解釈される。すなわち、高々測度ゼロの集合の上でのみ異なるものとなる。

性質

σ-集合代数は自明でないと仮定する。すなわち、$ℬ\ne \{X,\varnothing \}$ とする。このとき $𝒦\ne T𝒦$ となる。すると K-自己同型はテンプレート:仮リンクであることが従う。

すべてのテンプレート:仮リンクは K-自己同型であるが、その逆は成立しない。

参考文献

• Christopher Hoffman, "A K counterexample machine", Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), pp 4263–4280.