コンウェイ円のソースを表示


[[ファイル:Conway_circle_theorem.svg|代替文=A geometrical diagram showing a circle inside a triangle inside a larger circle.|サムネイル|コンウェイ円と、その円周上の六つの点。Iは三角形の[[内心]]、等長の辺は同じ色で塗り分けてある。]]
[[ユークリッド幾何学]]において、'''コンウェイ円'''（コンウェイえん、{{Lang-en-short|Conway circle}}）とは[[三角形]]の辺を拡張した直線上の、[[頂点]]からその対辺と同じ長さの距離にある点を通る円である。 そのような6点が[[共円]]であるという定理を'''コンウェイ円の定理'''（Conway circle theorem）と言う<ref>{{Cite web |title=John Horton Conway |url=http://www.cardcolm.org/JHC.html |author= |first= |date= |website=www.cardcolm.org |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200520084537/http://www.cardcolm.org/JHC.html |archive-date=20 May 2020 |access-date=29 May 2020}}</ref><ref name="FJGC">{{Cite journal|last=Francisco Javier García Capitán|year=2013|title=A Generalization of the Conway Circle|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG2013volume13.pdf#page=195|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=13|pages=191–195}}</ref> 。名称は[[ジョン・ホートン・コンウェイ]]に由来する。

== 証明 ==
[[ファイル:Conway_circle_theorem_proof.svg|サムネイル|同じ長さの[[線分]]は同色で示してある。<math>\begin{align}\triangle IF_cP_a &\cong \triangle IF_cQ_b \cong \triangle IF_aP_b \\ &\cong \triangle IF_aQ_c \cong \triangle IF_bP_c \\ &\cong \triangle IF_aQ_a \\ \Rightarrow \, |IP_a|&=|IQ_a|=|IP_b|=|IQ_b|\\ &=|IP_c|=|IQ_c| \end{align}</math> ]]
{{Mvar|I}}を{{Math|△''ABC''}}の[[内接円|内心]]、{{Mvar|r}}を[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]の半径、{{Mvar|s}}を[[半周長]]、{{Mvar|F{{sub|a}},  F{{sub|b}}, F{{sub|c}}}}を内接円と辺{{Mvar|a, b, c}}の接点とする。

{{Mvar|IF{{sub|a}}, IF{{sub|b}}, IF{{sub|c}}}}はそれぞれ{{Mvar|a, b, c}}の垂線であるから[[ピトーの定理]]より{{Math|1= ''AF{{sub|c}}'' = ''AF{{sub|b}}'' = ''s'' - ''a''}}, {{Math|1=''BF{{sub|c}}'' = ''BF{{sub|a}}'' = ''s'' - ''b''}}, {{Math|1=''CF{{sub|a}}'' = ''CF{{sub|b}}'' = ''s'' - ''c''}}である。6つの三角形 {{Mvar|IF{{sub|c}}P{{sub|a}}, IF{{sub|c}}Q{{sub|b}}, IF{{sub|a}}P{{sub|b}}, IF{{sub|a}}Q{{sub|c}}, IF{{sub|b}}Q{{sub|a}}, IF{{sub|b}}P{{sub|c}}}}はすべて、{{Math|1=''AF{{sub|c}}'' + ''BF{{sub|c}}'' + ''CF{{sub|a}}'' = ''s''}}と{{Mvar|r}}と等しい長さの辺を持ち、また[[直角三角形]]である。したがって[[二辺夾角相等]]より6つの三角形はすべて合同で、{{Math|1=''IP{{sub|a}}'' = ''IQ{{sub|a}}'' = ''IP{{sub|b}}'' = ''IQ{{sub|b}}'' = ''IP{{sub|c}}'' = ''IQ{{sub|c}}''}} が成り立ち、6点{{Mvar|P{{sub|a}}, Q{{sub|a}}, P{{sub|b}}, Q{{sub|b}}, P{{sub|c}} , Q{{sub|c}}}} は{{Mvar|I}}との距離が等しく、{{Mvar|I}}を中心として[[共円]]である。

== 性質 ==
コンウェイ円の半径は

: <math>\sqrt{r^2 + s^2}</math>

である<ref name="FJGC" />。ただし <math>r</math> は内接円の半径、 <math>s</math>は半周長である。

== 一般化 ==
[[ファイル:Side_divider_theorem2a.svg|サムネイル|コンウェイ円の定理]]
コンウェイ円の定理は次のように一般化できる。

{{Math|△''ABC''}}と直線{{Mvar|AB}}上の点{{Mvar|P}}について、[[符号付き距離]]で、{{Math|1=''BP'' = ''BQ'', ''CQ'' = ''CR'', ''AR'' = ''AS'', ''BS'' = ''BT'', ''CT'' = ''CU''}}をみたす点を、それぞれ{{Mvar|Q, T}}は{{Mvar|BC}}上に、{{Mvar|R, U}}は{{Mvar|CA}}上に、{{Mvar|S}}は{{Mvar|AB}}上に作ったとき、{{Math|1=''AU'' = ''AP''}}で {{Mvar|PQRSTU}} は[[共円]]である<ref name="MdeV">{{Cite journal|last=Michael de Villiers|year=2023|title=Conway's Circle Theorem as a Special Case of a More General Side Divider Theorem|url=https://www.researchgate.net/publication/371806890|journal=Learning and Teaching Mathematics|issue=34|pages=37–42}}</ref>。

{{Mvar|P}}を{{Mvar|AB}}上の{{Math|1=''BP'' = ''b''}}を満たすような外側の点とすることで、コンウェイ円の定理を得る。

== 関連 ==

* [[九点円]]
* [[六点円]]
* [[フールマン円]]
* [[レスター円]]
* [[三角形の円錐曲線#三角形の円|三角形の円]]

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* {{Cite web |title=Encyclopedia of Triangle Centers |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |author=[[Clark Kimberling|Kimberling, Clark.]] |date= |website= |archive-url= |archive-date= |access-date=2024/3/26}}
* [http://dynamicmathematicslearning.com/conway-circle-as-special-side-divider-theorem.html Conway’s Circle Theorem as special case of Side Divider Theorem] at [http://dynamicmathematicslearning.com/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches], interactive geometry sketches.
* {{MathWorld|title=Conway Cirlce|id=ConwayCirlce}}
{{デフォルトソート:こんうえいえん}}
[[Category:三角形と円に関する定理]]
[[Category:三角形]]
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[[Category:数学に関する記事]]