コンウェイ円

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A geometrical diagram showing a circle inside a triangle inside a larger circle. — コンウェイ円と、その円周上の六つの点。Iは三角形の内心、等長の辺は同じ色で塗り分けてある。

ユークリッド幾何学において、コンウェイ円（コンウェイえん、テンプレート:Lang-en-short）とは三角形の辺を拡張した直線上の、頂点からその対辺と同じ長さの距離にある点を通る円である。そのような6点が共円であるという定理をコンウェイ円の定理（Conway circle theorem）と言う^[1]^[2] 。名称はジョン・ホートン・コンウェイに由来する。

証明

同じ長さの線分は同色で示してある。 $\begin{matrix} △ I F_{c} P_{a} & ≅ △ I F_{c} Q_{b} ≅ △ I F_{a} P_{b} \\ ≅ △ I F_{a} Q_{c} ≅ △ I F_{b} P_{c} \\ ≅ △ I F_{a} Q_{a} \\ \Rightarrow | I P_{a} | & = | I Q_{a} | = | I P_{b} | = | I Q_{b} | \\ = | I P_{c} | = | I Q_{c} | \end{matrix}$

テンプレート:Mvarをテンプレート:Mathの内心、テンプレート:Mvarを内接円の半径、テンプレート:Mvarを半周長、テンプレート:Mvarを内接円と辺テンプレート:Mvarの接点とする。

テンプレート:Mvarはそれぞれテンプレート:Mvarの垂線であるからピトーの定理よりテンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Mathである。6つの三角形テンプレート:Mvarはすべて、テンプレート:Mathとテンプレート:Mvarと等しい長さの辺を持ち、また直角三角形である。したがって二辺夾角相等より6つの三角形はすべて合同で、テンプレート:Math が成り立ち、6点テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvarとの距離が等しく、テンプレート:Mvarを中心として共円である。

性質

コンウェイ円の半径は

\sqrt{r^{2} + s^{2}}

である^[2]。ただし $r$ は内接円の半径、 $s$ は半周長である。

一般化

コンウェイ円の定理

コンウェイ円の定理は次のように一般化できる。

テンプレート:Mathと直線テンプレート:Mvar上の点テンプレート:Mvarについて、符号付き距離で、テンプレート:Mathをみたす点を、それぞれテンプレート:Mvarはテンプレート:Mvar上に、テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvar上に、テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvar上に作ったとき、テンプレート:Mathでテンプレート:Mvar は共円である^[3]。

テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvar上のテンプレート:Mathを満たすような外側の点とすることで、コンウェイ円の定理を得る。

関連

出典

テンプレート:Reflist

外部リンク

テンプレート:Cite web
Conway’s Circle Theorem as special case of Side Divider Theorem at Dynamic Geometry Sketches, interactive geometry sketches.
テンプレート:MathWorld

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