フールマン円

フールマン円

フールマン円とフールマン三角形（赤色）。$N$ および $H$ はそれぞれナーゲル点と垂心を表し、元の三角形の内接円の半径を $r$ とするとき、$|A{P}_a|=|B{P}_b|=|C{P}_c|=2r$ が成り立つ。

ユークリッド幾何学において、フールマン円（ふーるまんえん、テンプレート:Lang-en）は、ドイツの数学者、ヴィルヘルム・フールマンにちなんで名づけられた、ナーゲル点 $N$と垂心 $H$ を直径の両端とする円である。またフールマン三角形の外接円でもある。フールマン円の中心は「Encyclopedia of Triangle Centers」においてX(355)として登録されている。

任意の三角形について、その辺長をそれぞれ a,b,c、内角をそれぞれ A,B,C、半周長をs、外接円の半径をR、内接円の半径をrとすると、フールマン円の半径 $R_F$ は

$$\begin{array}{cc}{R}_F& =\sqrt{R(R-2r)}\\ & =R\sqrt{3-2(\cos A+\cos B+\cos C)}\\ & =R\sqrt{1-\frac{8(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}}\\ & =\sqrt{\frac{abc}{2s}\{\frac{abc}{8(s-a)(s-b)(s-c)}-1\}}\\ \end{array}$$

である。これはオイラーの定理により、外心と内心の距離と等しい。

また、垂心でないほうの、各頂垂線とフールマン円との交点について、同一頂垂線上に在る各頂点との距離が内接円の直径と等しくなる。

フールマン円の中心と内心の中点は九点円の中心である。

一般化

テンプレート:Mathについて、その辺上にない点テンプレート:Mathの擬調和三角形をテンプレート:Mathとする。また、テンプレート:Mvarをそれぞれテンプレート:Mvarで鏡映した点をテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mvar（[[フールマン三角形#一般化|テンプレート:Mathフールマン三角形]]）の外接円をテンプレート:Mathのヘギー円（テンプレート:Math-Hagge circle）またはテンプレート:Mathのフールマン円（テンプレート:Math-Fuhrmann circle）と言う。名称はカール・ヘギーに由来する。テンプレート:Mathが内心のとき、ヘギー円はフールマン円となる。フールマン円と同様、ヘギー円は以下の性質を満たす。

• ヘギー円は垂心を通る（First Hagge theorem）。
• テンプレート:Mathの等角共役点テンプレート:Mathとテンプレート:Mathのヘギー円の中心の中点は、九点円の中心である。
• ヘギー円の半径はテンプレート:Mathと外心の距離に等しい。
• 垂心のヘギー円に対する対蹠点、重心、テンプレート:Mathは共線である。

Christopher J Bradleyは対垂三角形を用いたヘギー円の一般化を発表している。

2020年、Vu Thanh Tungはさらなる一般化を示した。

点テンプレート:Mvarに対して、テンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Math、円テンプレート:Mvarと直線テンプレート:Mvarのテンプレート:Mvarでない方の交点をテンプレート:Math、直線テンプレート:Mathと円テンプレート:Mvarのテンプレート:Mathでない方の交点をテンプレート:Mathとする。同様にテンプレート:Mathも定義したとき、テンプレート:Mathは共円である。この円をVu Circleという。テンプレート:Mvarを垂心とすれば、ヘギー円となる。

参考文献

• J. A. Scott: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Volume 86, No. 506 (Jul., 2002), pp. 326–328 (JSTOR)

外部リンク

• テンプレート:Cite web
• テンプレート:MathWorld