フールマン三角形

フールマン三角形(赤): テンプレート:Mvar
弧の中点: テンプレート:Mvar

フールマン三角形 (赤):
テンプレート:Mvar
テンプレート:Mvar

フールマン三角形とフールマン円（赤色）。$N$ および $H$ はそれぞれナーゲル点と垂心を表し、元の三角形の内接円の半径を $r$ とするとき、$|A{P}_a|=|B{P}_b|=|C{P}_c|=2r$ が成り立つ。

フールマン三角形（フールマンさんかくけい、テンプレート:Lang-en-short）は、ヴィルヘルム・フールマン (1833–1904)にちなんで名付けられた特別な三角形である。

テンプレート:Mathについて、その外接円の、それぞれテンプレート:Mathを含まない円弧テンプレート:Mathの中点をそれぞれテンプレート:Mvarとする。これらの点を三角形の辺テンプレート:Mathで鏡映した点テンプレート:Mvarが作る三角形をフールマン三角形という。

フールマン三角形の外接円は、フールマン円と呼ばれる。フールマン三角形は弧の中点が成す三角形と逆向きに相似、つまりテンプレート:Mvar である。フールマン三角形の面積について、以下の式が成り立つ 。

$|\mathrm{△}{M}_c^{\prime }{M}_b^{\prime }{M}_a^{\prime }|=\frac{s|OI{|}^2}{2R}=\frac{s(R-2r)}{2}$

ここで、 テンプレート:Mvarは外心、テンプレート:Mvarは外接円の半径、テンプレート:Mvarは内心、テンプレート:Mvarは半周長、テンプレート:Mvarは内接円の半径である。右辺はオイラーの定理$|OI{|}^2=R(R-2r)$による変形である。フールマン三角形の辺については以下の式が成り立つ。

$a^{\prime }=2\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}|OI|=\sqrt{\frac{a(s-a)(R-2r)}{r}}$

$b^{\prime }=2\sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}}|OI|=\sqrt{\frac{b(s-b)(R-2r)}{r}}$

$c^{\prime }=2\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}|OI|=\sqrt{\frac{c(s-c)(R-2r)}{r}}$

ここで、テンプレート:Mvarは各辺の長さである。

フールマン三角形と、基準三角形の対応は以下のとおりである。

フールマン三角形	基準三角形
外心X3	フールマン円の中心X355
垂心X4	内心X1
九点円の中心X5	九点円の中心X5
キーペルト放物線の焦点X110	垂心X4
ジェラベク双曲線の中心X125	シュピーカー点X10
オイラー線	IN線(X1とX5を結ぶ線)

一般化

テンプレート:Mathと点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarの擬調和三角形をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mathでテンプレート:Mvarを鏡映した点をテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarフールマン三角形（P-Fuhrmann triangle）という。テンプレート:Mvarの擬調和三角形とフールマン三角形は逆向きに相似である。テンプレート:Mvarフールマン三角形の外接円はテンプレート:Mvarフールマン円、またはテンプレート:Mvarヘギー円と呼ばれる。テンプレート:Mvarが内心のときは単にフールマン三角形、フールマン円である。