擬調和三角形

ユークリッド幾何学において、擬調和三角形^[1]（ぎちょうわさんかくけい、テンプレート:Lang-en-short）は、三角形と点に対する特別な三角形の一つである^[2]。

定義

小倉金之助は次の定義を採用した^[1]。

方べきの定理より、前者の定義と一致することが確認できる。

テンプレート:Mvarをテンプレート:Mathの辺の長さ、テンプレート:Mathをテンプレート:Mvarの三線座標とすると、テンプレート:Mvarの擬調和三角形テンプレート:Mathの頂点の三線座標は以下の様に与えられる^[2]。 $\begin{matrix} A^{'} = & - a β γ & : & (b γ + c β) β & : & (b γ + c β) γ \\ B^{'} = & (c α + a γ) α & : & - b γ α & : & (c α + a γ) γ \\ C^{'} = & (a β + b α) α & : & (a β + b α) β & : & - c α β \end{matrix}$

元の三角形の外接円に内接する三角形は、元の三角形の擬調和三角形のただ一つに合同である^[2]。
任意の点の垂足三角形と擬調和三角形は同じ向きに相似である^[2]。特に等力点の擬調和三角形は正三角形である。
テンプレート:Mvarの擬調和三角形と基準三角形の配景の軸は、外接円に対するテンプレート:Mvarの極線と一致する^[1]。
擬調和三角形の各頂点から元の三角形の辺に対して下した垂線が一点で交わるような、（つまり擬調和三角形と元の三角形が対垂であるような）点Pの軌跡はマッケイ三次曲線と呼ばれる三次曲線を成す^[9]。また、マッケイ三次曲線上の点の垂足三角形と擬調和三角形は相似の位置にあり、その相似の中心の軌跡はルモワーヌ三次曲線（Lemoine cubic）と呼ばれる^[2]。