極と極線

中心をテンプレート:Mvar、半径をテンプレート:Mvarとする円に関する点テンプレート:Mvarの極線テンプレート:Mvar。点テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarを円により反転した点でq上にある。テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarは直交する。

極（きょく、テンプレート:Lang-en-short）と極線（きょくせん、テンプレート:Lang-en-short）は、幾何学において、円錐曲線に関する点と直線を指す用語。極は点であることを強調するため極点とも言われる。

与円による極と極線の相反変換（Polar reciprocation）は、点を直線に、直線を点に変換する。

性質

極と極線はいくつかの有用な性質を持つ。

• 点テンプレート:Mvarが直線テンプレート:Mvar上にあるとき、テンプレート:Mvarの極テンプレート:Mvarは、テンプレート:Mvarの極線上にある（ラ・イールの定理、La Hire's theorem）。
• 点テンプレート:Mvarが直線テンプレート:Mvar上を動くとき、テンプレート:Mvarの極線はテンプレート:Mvarの極を中心に回転する。
• 極を通る円錐曲線の2つの接線の接点は極線上にある。
• 円錐曲線上の点の極線は、その点における円錐曲線の接線である。
• 点が自身の極線上にあるならば、その点は円錐曲線上にある。
• どの直線も、退化していない円錐曲線に対して、極を持つ。

円の場合

円錐曲線が円である場合は反転と深い関係を持つ。もととなる円をテンプレート:Mvarとする。極線テンプレート:Mvarの極は、テンプレート:Mvarの円の中心に最も近い点（円の中心を通る垂線の垂足）をテンプレート:Mvarにおいて反転した点となる。逆に、点テンプレート:Mvarの極線は、テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarにおいて反転した点テンプレート:Mvarを通り、直線上の点の中で円の中心と最も近い点がテンプレート:Mvarとなるような直線となる。

点テンプレート:Mvarの極線テンプレート:Mvar上の点テンプレート:Mvarの極線テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarを通る。

極と極線の関係は相互的である。点テンプレート:Mvarの極線テンプレート:Mvar上の点テンプレート:Mvarの極線テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarを通る。

円の外側に極テンプレート:Mvarがある場合、その極線は別の定義をすることもできる。テンプレート:Mvarを通るテンプレート:仮リンクは高々2個存在する。この2接線の接点を通る直線はテンプレート:Mvarの極線となる。この定義から、退化していない円錐曲線に対する極と極線へ一般化することができる。

変換

点と直線の双対性の画像。2直線テンプレート:Mvarが一点テンプレート:Mvarを通るとき、 テンプレート:Mvarの極線テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarの極を結んだ直線となる。

極と極線の概念は射影幾何学にも発展できる。例えば、与えられた極と円錐曲線に対する射影調和共役点の集合は極線となる。 点を曲線に置き換える操作、またその逆の操作は極系（polarity）と呼ばれる。

極系は対合として知られる相互関係でもある。

任意の点テンプレート:Mvarとその極線テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvar上の他の点テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarを通る直線テンプレート:Mvarの極である。これは相互的な関係を構築し、その逆の操作も相互的になる。

円錐曲線への一般化

直線テンプレート:Mvarはそれぞれ点テンプレート:Mvarの極線。

直線テンプレート:Mvarはそれぞれ点テンプレート:Mvarの極線。

極と極線の概念は円から円錐曲線（楕円、双曲線、放物線等）へ拡張できる。テンプレート:仮リンクや複比、射影変換などに関わる性質は、一般化しても同様に成り立つ。

極線の計算

一般化された円錐曲線は平面直交座標系テンプレート:Mathで、二次曲線として次の式で表すことができる。

$$A_{xx}{x}^2+2A_{xy}xy+A_{yy}{y}^2+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$$

ただし$A_{xx},A_{xy},A_{yy},B_x,B_y,C$は定数とする。点テンプレート:Mathの極線の方程式は次の形で与えられる。

$$Dx+Ey+F=0$$

ただし

$$\begin{array}{cc}D& =A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_x\\ E& =A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_y\\ F& =B_x\xi +B_y\eta +C\end{array}$$

極の計算

直線$Dx+Ey+F=0$の非退化円錐曲線$$A_{xx}{x}^2+2A_{xy}xy+A_{yy}{y}^2+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$$に関する極は次の2つの過程で求まる。

まず次の式のx,y,zを求める。

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}{A}_{xx}& A_{xy}& B_x\\ A_{xy}& A_{yy}& B_y\\ B_x& B_y& C\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}D\\ E\\ F\end{array}\right]$$

$(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$が与えられた直線の極となる。

極と極線の関係の表

円錐曲線	円錐曲線の方程式	$P=(x_0,y_0)$の極線
円	$x^2+y^2=r^2$	$x_{0}x+y_{0}y=r^2$
楕円	${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$	$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$
双曲線	${\left(\frac{x}{a}\right)}^2-{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$	$\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1$
放物線	$y=a{x}^2$	$y+y_0=2a{x}_{0}x$

円錐曲線	円錐曲線の方程式	直線テンプレート:Mathの極
円	$x^2+y^2=r^2$	$(\frac{r^{2}u}{w},\frac{r^{2}v}{w})$
楕円	${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$	$(\frac{a^{2}u}{w},\frac{b^{2}v}{w})$
双曲線	${\left(\frac{x}{a}\right)}^2-{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$	$(\frac{a^{2}u}{w},-\frac{b^{2}v}{w})$
放物線	$y=a{x}^2$	$(-\frac{u}{2av},-\frac{w}{v})$

完全四辺形

射影幾何学では、平面上の任意の2直線は必ず交わるとされる。 4つの直線はテンプレート:仮リンクと呼ばれる四角形を成す。また4点を結ぶ直線の交点は対角点（diagonal point）と呼ばれる。

円錐曲線テンプレート:Mvar上にない点テンプレート:Mvarを与え、テンプレート:Mvarを通る2つテンプレート:Mvarの割線を作る。割線とテンプレート:Mvarの交点テンプレート:Mvarから完全四辺形を作る。するとテンプレート:Mvarはこの完全四辺形の対角点の一つとなる。他の二つの対角点を結ぶ直線はテンプレート:Mvarの極線となる（ブロカールの定理、Brocard's theorem）。

応用

極と極線は、元はジョセフ・ジェルゴンヌがアポロニウスの問題を解くために定義したものである。

平面力学において pole（極）は回転の中心、polar は力線、conic は慣性の質量行列の役割を果たす。pole と polar の関係は剛体のテンプレート:仮リンクの定義で使用される。極が hinge point ならば、極線はテンプレート:仮リンクにおける percussion line となる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book The paperback version published by Dover Publications has the テンプレート:ISBN2.
• テンプレート:Cite book

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• 双対多面体
• テンプレート:仮リンク
• 三線極点
• 直極点

外部リンク

• Interactive animation with multiple poles and polars at Cut-the-Knot
• テンプレート:Webarchive
• Interactive 3D with coloured multiple poles/polars - open source
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Webarchive at Math-abundance
• テンプレート:高校数学の美しい物語