調和共役 (幾何学)

テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvar,テンプレート:Mvarに対するテンプレート:Mvarの調和共役
テンプレート:Mvar は調和点列
テンプレート:Mvarは完全四辺形

射影幾何学において、調和共役（ちょうわきょうやく、テンプレート:Lang-en）は、実射影直線における以下の点の関係のことである。

同一直線上にある三点 テンプレート:Mvarについてテンプレート:Mvarをその直線上にない点、テンプレート:Mvarをそれぞれあるテンプレート:Mvarを通る直線とテンプレート:Mvarの交点とする。またテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarのテンプレート:Mvar,テンプレート:Mvarに対する調和共役点という。

テンプレート:Mvarは複比の不変性やデザルグの定理により、点テンプレート:Mvarや直線テンプレート:Mvarテンプレート:Mvarの取り方に依らない。

またこのときの複比については テンプレート:Mathが成り立つ。

平面幾何学では{P,Q}調和共役（{P,Q}-harmonic conjugate）と書かれることもある。

複比の基準

テンプレート:Mvarは調和点列（Harmonic range）または調和列点と呼ばれている。テンプレート:Overlineに対するテンプレート:Mvarの内分比とテンプレート:Mvarの外分比は常に等しい。つまり以下が成り立つ。$$\overline{AC}:\overline{BC}=\overline{AD}:\overline{DB}.$$線分比について符号付き距離を導入すると複比は以下の式で表される。

$(A,B;C,D)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}/\frac{\overline{BC}}{-\overline{DB}},$

調和点列の複比は常に-1である。

$(A,B;C,D)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}\times \frac{\overline{BD}}{\overline{BC}}=-1.$

複比を取る4点の選びは6通りあり、選び方によって複比の値は変わってしまう。しかし、調和点列の場合、テンプレート:Mathのいずれかとなる。これらは調和比（harmonic cross-ratio）と呼ばれる。

実数直線状の点テンプレート:Mvarについて点テンプレート:Mvarの分割比（division ratio）は以下の式で表される。$$t(x)=\frac{x-a}{x-b}.$$テンプレート:Mathならば、テンプレート:Mathは負の値を取る。逆にテンプレート:Mvarの外であれば正の値を取る。複比は分割比を用いて$(c,d;a,b)=\frac{t(c)}{t(d)}$ と書くことができる。テンプレート:Mathならば、テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarはテンプレート:Mvar,テンプレート:Mvarに対する調和共役である。

調和共役の関係にある2つの点との距離が、調和点列の分比である点の軌跡はアポロニウスの円と呼ばれる。

中点の調和共役

中点と無限遠点

テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの中点テンプレート:Mvarに対しての分割比は-1である。$$t(x)=\frac{x-a}{x-b}=-1.$$複比の基準によれば、中点テンプレート:Mvarの調和共役点テンプレート:Mvarはテンプレート:Mathを満たさなければならない。しかし無限の概念を使わねば、テンプレート:Mvarを定義することができない。$$\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }t(y)=1,$$中点テンプレート:Mvarの調和共役点は実数直線上の無限遠点として定義される。

完全四角形

調和共役とテンプレート:仮リンクテンプレート:Mvarは深い関係にある。完全四角形の調和共役による表現はH. S. M.コクセターによって提唱された。

どの3点も共線でない4点テンプレート:Mvarを結んでできる6つの直線のからできる図形を完全四角形または完全四辺形という。

最初に調和共役を用いたカール・フォン・シュタウトは著作「テンプレート:Lang」の中で、調和共役を初等幾何学の概念から射影幾何学の概念へ発展させた。

テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math

ジョン・ウェスレー・ヤングによれば、完全四角形によって中点を定義することができる。

2直線 テンプレート:Mvar についてそれぞれ平行な直線,テンプレート:Mvar を描く。 テンプレート:Mvar の交点は無限遠点テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarの交点無限遠点テンプレート:Mvarである。完全四角形テンプレート:Mvar の対角線は直線テンプレート:Mvarテンプレート:Mvarと、テンプレート:Mvarテンプレート:Mvar上の無限遠点テンプレート:Mvarである。平行四辺形の対角線の交点は対角線を二等分することより、 テンプレート:Mvarの調和共役点はテンプレート:Mvarの中点である。

円錐曲線

円錐曲線テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvar上にないテンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarを通る直線とテンプレート:Mvarの交点をそれぞれテンプレート:Mvar,テンプレート:Mvarとする。直線が動くとき、 テンプレート:Mvarのテンプレート:Mvar,テンプレート:Mvarに対する調和共役点は、ある直線上を動く。この時テンプレート:Mvarを極（pole）、調和共役点の動く直線をテンプレート:Mvarの極線（polar line）と言う。

反転幾何学

テンプレート:詳細記事 特に円の場合、調和共役は円による反転と等しい。これはSmogorzhevskyの定理の一つである。

円テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar が垂直に交わっているときテンプレート:Mvar,テンプレート:Mvarの中心を結ぶ直線とテンプレート:Mvarの2つの交点はテンプレート:Mvarについて、反転の関係にある。また、テンプレート:Mvarの中心,テンプレート:Mvarと直線のテンプレート:Mvar側の交点に対してテンプレート:Mvar,テンプレート:Mvarの中心を結ぶ直線とテンプレート:Mvarの2つ交点は調和共役の関係にある。

円錐曲線とJoachimthalの等式

$C$を以下の式で表される楕円とする。

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

楕円の外にある点 $P(x_0,y_0)$ について、$P$を通る直線$L$が楕円と$A$,$B$で交わっている。 $A$ の座標を $(\xi ,\eta )$とする。$L$上の点$Q(x,y)$を、$A$が$PQ$を$1$:$\lambda$に内分する、楕円の内部に位置する点とすると、以下が成り立つ。

$PA=\sqrt{(x_0-\xi {)}^2+(y_0-\eta {)}^2}=1,AQ=\sqrt{(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2}=\lambda$.

これらの方程式を𝜉と𝜂について解く代わりに、以下の式が解であることを代入によって調べることができる。

$(\xi ,\eta )=(\frac{\lambda x+x_0}{\lambda +1},\frac{\lambda y+y_0}{\lambda +1}).$

$A$が$C$上にあることは以下の式から確かめられる。

$\frac{1}{a^2}(\frac{\lambda x+x_0}{\lambda +1}{)}^2+\frac{1}{b^2}(\frac{\lambda y+y_0}{\lambda +1}{)}^2=1,$

${\lambda }^2(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1)+2\lambda (\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}-1)+(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}-1)=0.$

この等式は$\lambda$のJoachimthal's equationと呼ばれる。Joachimthal's equationの2つの根${\lambda }_1,{\lambda }_2$は$P$,$Q$に対する$A$,$B$の位置を決定する。

$QA=\frac{1}{{\lambda }_1+1}(x-x_0,y-y_0),PA=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+1}(x_0-x,y_0-y)$$QB=\frac{1}{{\lambda }_2+1}(x-x_0,y-y_0),PB=\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_2+1}(x_0-x,y_0-y).$

$\frac{PB}{PA}\frac{QA}{QB}=\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}.$

上の等式の両辺が$-1$と等しいならば

$\frac{QA}{PA}=-\frac{QB}{PB}.$

このとき $PQ$に対する$A$ の内分比と$B$の外分比は等しい。すなわちこれは調和比である。

$\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}-1=0.$

この等式は $P(x_0,y_0)$を極とする極線を表す。

参考文献

• Juan Carlos Alverez (2000) Projective Geometry, see Chapter 2: The Real Projective Plane, section 3: Harmonic quadruples and von Staudt's theorem.
• Robert Lachlan (1893) An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry, link from Cornell University Historical Math Monographs.
• Bertrand Russell (1903) Principles of Mathematics, page 384.
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:Kotobank
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