ポンスレの閉形定理

n = 3におけるポンスレの閉形定理。2円にそれぞれ内接、外接する三角形は無数にある。

幾何学において、ポンスレの閉形定理（ポンスレのへいけいていり、テンプレート:Lang-en-short）または単にポンスレの定理は、二つの円錐曲線にそれぞれテンプレート:仮リンク、 内接する多角形が1つでも存在すれば、そのような多角形は無数に存在するという定理である。1746年、ウィリアム・チャップル が三角形の場合を証明し、1822年、ポンスレが一般の場合を解決した。

主張

テンプレート:Mvarを二つの円錐曲線とする。3以上の整数テンプレート:Mvarについて、あるn角形がテンプレート:Mvarに外接する（多角形の頂点すべてがテンプレート:Mvar上にある）かつテンプレート:Mvarに内接する（多角形の辺すべてがテンプレート:Mvarと接する）ならば、同様にテンプレート:Mvarに外接しテンプレート:Mvarに内接するテンプレート:Mvar角形を無数に見つけることができる。テンプレート:Mvarまたはテンプレート:Mvar上の任意の点はそのような多角形の接点になり得る。

テンプレート:Mvarがともに円ならばこの多角形は双心多角形と呼ばれる。双心多角形はPoncelet's porismの一部であるテンプレート:Rp。

証明の概要

テンプレート:Mvarをテンプレート:仮リンク P²上の曲線として見る。簡単のため、テンプレート:Mvarは単純な交点を持つとする（非特異でテンプレート:仮リンクにある）。このときベズーの定理よりテンプレート:Mvarの交点は4つ存在する。点テンプレート:Mvarを通るテンプレート:Mvarの接線テンプレート:Mvarの接点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mathをもつテンプレート:Mathの部分代数多様体をテンプレート:Mvarをとする。テンプレート:Mathならばテンプレート:Mvarは1つ、でなければ2つ存在する。したがって射影テンプレート:Mathは、テンプレート:Mvarを4点以上で分岐した位数2の自己同型で表す。つまりテンプレート:Mvarは楕円曲線である。 テンプレート:Mathを同一座標上の点テンプレート:Mathへ移すテンプレート:Mvarの対合を$\sigma$とする。不動点をもつ楕円曲線の対合は、群として、テンプレート:Mathと表現されるので、$\sigma$もこの形式となる。同様に射影テンプレート:Mathも、テンプレート:Mvarの4つの共通接線とテンプレート:Mvarの接点で分岐した位数2の自己同型であり、対合$\tau$はテンプレート:Mathと一致する。したがって合成写像$\tau \sigma$はテンプレート:Mvarへの変換を表す。$\tau \sigma$のべきが不動点を持つならば、そのべきはその点で恒等写像である必要がある。テンプレート:Mvarに言い換えると、（対応するテンプレート:Mvarの存在する）ある点テンプレート:Mathが閉じた軌道をつくる（つまりn角形を作る）ならば、すべての点が不動であるということである。テンプレート:Mvarが退化した場合は極限を取ることで導かれる。

空間への拡張

1880年、フルヴィッツ（Hurwitz）は次のように空間へ一般化した。

2つの空間三次曲線にそれぞれ内接・外接するような四面体が、2つでもあれば、そのような四面体は無数に存在する。

他に1901,1904年にフォントネーに論じられ、1928年にフランツ・マイヤー（Franz Meyer）に双対を証明された、次のようなものもある。

与えられた空間三次曲線に内接し、二次曲面に外接する四面体は、一般に1つ存在し、2つ存在するならば、そのような四面体は無数に存在する。

フォントネーやブリカールは八面体や二十面体への拡張にも言及している 。

関連

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• シュタイナー円鎖
• テンプレート:仮リンク
• イーガン予想

出典

• Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. "Poncelet's closure theorem". Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289–364.

外部リンク

• David Speyer on Poncelet's Porism
• D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics
• Interactive applet by Michael Borcherds showing the cases n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 (including the convex cases for n = 7, 8) made using GeoGebra.
• Interactive applet by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for a general Ellipse and a Parabola made using GeoGebra.
• Interactive applet by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for 2 general ellipses (order 3) made using GeoGebra.
• Interactive applet by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for 2 general ellipses (order 5) made using GeoGebra.
• Interactive applet by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for 2 general ellipses (order 6) made using GeoGebra.
• Java applet showing the exterior case for n = 3 at National Tsing Hua University.
• Article on Poncelet's Porism at Mathworld.