シュタイナーの円鎖

図 1:シュタイナーの円鎖テンプレート:Math 。青と赤の円がそれぞれ円鎖を成す円が内接、外接する円。

幾何学において、シュタイナーの円鎖（しゅたいなーのえんさ、テンプレート:Lang-en）または シュタイナー環、シュタイナーの円環、シュタイナー円鎖は、テンプレート:Mvar個の円が2つの交わらない円と円鎖の前と次の円に接しているとき、そのテンプレート:Mvar個の円を指す用語である。ただしテンプレート:Mvarは有限の整数であるとする。特に円鎖が閉じる（closed chains）とは最初の円と最後（テンプレート:Mvar個目の円）が接する状態にある、ということである。逆にopen chains とは、そうでない場合を表す。シュタイナーの円鎖の2つの円（図1の赤と青の円）の条件は円テンプレート:Mvarが交わっていないことだけである。つまり、一方の円がもう一方の円の内部になければならないということはない。シュタイナーの円鎖の円の中心の軌跡は、一方の円がもう一方の円の内部にあるならば楕円を、そうでないならば双曲線を成す。

シュタイナーの円鎖はヤコブ・シュタイナーに因み名づけられた。彼の功績の一つにSteiner's porismと呼ばれる以下の様に定義される図形がある。

2つの円テンプレート:Mvarに対して、テンプレート:Mvar個の円の閉じているシュタイナーの円鎖が一つでもあれば、テンプレート:Mvar個の円の閉じているシュタイナーの円鎖は無数に見つけることができる。そしてテンプレート:Mvarに接する円はすべて、そのようなシュタイナーの円鎖の一つになり得るテンプレート:Efn。

反転幾何学はシュタイナーの円鎖をうまく扱うのに有用である。反転は交点、角、円を一対一対応させるため、テンプレート:Mvar個のシュタイナーの円鎖を反転させると、シュタイナーの円鎖は別のテンプレート:Mvar個の円に移る。ある円における反転は円テンプレート:Mvarを同心円に変換し、その変換によってとシュタイナーの円鎖のすべての円は同じ大きさになり、 玉軸受のようにアニュラス上を"転がる"ことができる。この構成がシュタイナーの円鎖の様々な性質をもたらしている。たとえば、シュタイナーの円鎖の円同士の接点は常に共円である。 シュタイナーの円鎖の一般化には例えばソディの六球連鎖やパップス円鎖がある。

定義と接し方の種類

• シュタイナーの円鎖の接し方の違い
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  7円のシュタイナーの円鎖 (黒)。赤い内部の円に外接し青い外部の円に内接している。
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  7円のシュタイナーの円鎖 (黒)。青と赤どちらの円にも外接している。
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  8円のシュタイナーの円鎖 (黒)。青と赤どちらの円にも内接している。

2円テンプレート:Mvarが交わっていなければ円の配置は、小さい方の円は、大きい方の円の内部にあるか、外部のあるかのみである。この2円は基本アニュラスのように小さい円が大きい円の内部にある場合で示される。この構成ではシュタイナーの円鎖は内側の円に外接し、外側の円に内接している。しかし、小さい方の円が大きい円の外部にある場合も存在する。この場合も、シュタイナーの円鎖の条件を満たし、元の2円に外接のみ、または内接のみするようになる。 元の2円が接している場合は円鎖は無限となりアルベロスとともに議論されることが多い（パップス円鎖）。

閉じている、開いている円鎖

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  9つの円の円鎖が閉じている。
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  9つの円の円鎖が開いていて、一部が重なっている。
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  17つの円が二周することで多環を成している。

2つの円テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvar個のシュタイナーの円鎖の円と接しているが、テンプレート:Mvar個の各円テンプレート:Mathはテンプレート:Mvarと両隣の円の4つとしか接していない。普通はシュタイナーの円鎖が閉じている場合を議論するがそうでない場合、つまりテンプレート:Mathが接さない場合、テンプレート:Mathは3円とだけ接することとなる。多環のシュタイナーの円鎖ではその円鎖が閉じる前にさらに何周かすることとなる。

シュタイナーの円鎖は双角錐におけるテンプレート:仮リンクの系である。

アニュラスと条件

• アニュラスにおけるシュタイナーの円鎖
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アニュラスの場合のシュタイナーの円鎖の円の半径テンプレート:Mvarはもとの2円の半径によって決まる。

シュタイナーの円鎖のもっとも簡単な場合は、2つの円テンプレート:Mvarが同心円であるときである。テンプレート:Mvarの中心をテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mvar個のシュタイナーの円鎖について、2円テンプレート:Mvarの大きい方の半径をテンプレート:Mvar、小さい方の半径をテンプレート:Mvar、隣り合うシュタイナーの円鎖の円の中心をテンプレート:Mathとして対称性より、テンプレート:Mathである。また隣り合うシュタイナーの円鎖の円は接するのでその円の中心の距離は円の半径テンプレート:Mvarの2倍に等しい。図のようにテンプレート:Mathの角の二等分線は2つの直角三角形をつくるのでテンプレート:Mathとして、その正弦を求めることができる。

$\sin \theta =\frac{\rho }{r+\rho }$

よってテンプレート:Mvarについて整理して以下の式を得る。

$\rho =\frac{r\sin \theta }{1-\sin \theta }$

シュタイナーの円鎖とそれぞれテンプレート:Mvarの接点と、テンプレート:Mvarの中心は明らかに共線であるからテンプレート:Mathが従う。

この等式は、シュタイナーの円鎖ができる条件を与える。 テンプレート:Mvar個のシュタイナーの円鎖ができる条件は、2円の半径テンプレート:Mvarが以下の式を満たすことである。

$\frac{R}{r}=1+\frac{2\sin \theta }{1-\sin \theta }=\frac{1+\sin \theta }{1-\sin \theta }={[\sec \theta +\tan \theta ]}^2$

下記の様に、半径の比は2円のテンプレート:仮リンクによって、任意の円に拡張することができる。

$\delta =\ln \frac{R}{r}$

同心円上の2円についての解法を使って、一般の位置にある2円に対する テンプレート:Mvar個のシュタイナーの円鎖ができる条件は以下の様にまとめられる。

$\delta =2\ln (\sec \theta +\tan \theta ).$

テンプレート:Mvar個のシュタイナーの円鎖が多環であるときは、アニュラスをテンプレート:Mvar周するとして隣り合うシュタイナーの円鎖の円の中心の成す中心角が以下を満たせばよい。

$\theta =\frac{m}{n}180^{\circ }$

別の言い方をすれば、シュタイナーの円鎖のできる条件は不変であるということである。

反転下での性質

• シュタイナーの円鎖の反転したものの性質
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  2円（桃と水）は元の円の両方に内接する。それらの円の中心は円の交点の成す中心角がテンプレート:Mathならば、テンプレート:Mvarの中心と共線である。
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  反転した図では、広義の円は広義の円へと移り、交点や角度を保つ。茶色の円はテンプレート:Mvarと直交している。
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  2つのシュタイナーの円鎖の隣り合う円の接点を通る円は最初の二2円に直交する。
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  2つのシュタイナーの円鎖と与円の接点を通る円は元の2円に直交する。

円による反転はシュタイナーの円鎖を、同数の円を持つ他の図形に変換する。

円鎖の反転で、隣り合う円が接するという事実は変わらない。また、与円が同心円になるよう反転したとき、シュタイナーの円鎖の隣り合う円の接点は与円を反転したものの中間上にある。したがってシュタイナーの円鎖で、隣り合う円との接点は同一円周上にある。この方法はパップス円鎖にも適応できる。

反転された円鎖では、テンプレート:Mvarの中心テンプレート:Mvarからシュタイナー円鎖の円への接線は等角度で離れている。これは元の円鎖において反転の中心を通るシュタイナー円鎖の円の接線の成す角が常に等しいことを示している。

円鎖の反転で、元の円とシュタイナーの円鎖を成す円の接点と、その反対側の接点を結ぶテンプレート:Mvar本の直線はすべて一点テンプレート:Mvarで交わる。同様に接点における接線もテンプレート:Mvarで交わる。反転の中心を通る直線は反転で不変でありまた、接したり交わったりするなども不変であるので上で言及した2n本の直線に反転で対応する図形は一点で交わる。

無限個の族

2つの円(青)について、1つでも閉じている円鎖が存在すれば、そのような円鎖は無限に存在する。

2つの交わらない円について、そのシュタイナーの円鎖を反転させたものをアニュラス上で"転がす"ことにより、別のシュタイナーの円鎖を作ることができる。故に、2つの与円についてのシュタイナーの円鎖は無限個ある。

中心の軌跡

シュタイナー円鎖を成す円の中心は常に二次曲線上にある。例えば元の円の一方の円がもう一方の円の内部にある場合は楕円、外部にある場合は双曲線となる。これはアポロニウスの問題やパップス円鎖にも利用されている。3次元ではソディの六球連鎖に応用されている。

元の2円をテンプレート:Mvar、その半径をそれぞれテンプレート:Mvar、中心をそれぞれテンプレート:Mvarとする。ただしテンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarの内部にあるとする。またシュタイナーの円鎖のテンプレート:Mvar番目の円の円周、半径、直径、中心をそれぞれテンプレート:Mvar とする。

テンプレート:Mvarは常にある楕円上にある。これは円が接することを式にしたとき下記の様になり、この時テンプレート:Mvarの軌跡はよく知られた事実により楕円となるためである。

$\overline{{𝐏}_k𝐀}+\overline{{𝐏}_k𝐁}=(r_{\alpha }-r_k)+(r_{\beta }+r_k)=r_{\alpha }+r_{\beta }$

このためテンプレート:Mvarとそれぞれテンプレート:Mvarの距離の和は常にテンプレート:Mathとなる。特に、この楕円の焦点はテンプレート:Mvarとなることが従う。

更にこの楕円の長軸テンプレート:Mvarは以下の式を満たす。

$2a=r_{\alpha }+r_{\beta }$

テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarの距離とすると、 楕円の離心率テンプレート:Mvarについて以下の式が成立する。

$e=\frac{p}{2a}=\frac{p}{r_{\alpha }+r_{\beta }}$

短軸をテンプレート:Mvar、半直弦をテンプレート:Mvarとすれば以下の式が成り立つ。

$b^2=a^2(1-e^2)=a^2-\frac{p^2}{4}$

$L=\frac{b^2}{a}=a-\frac{p^2}{4a}$

したがって軌道の方程式は以下のようになる。

$d=\frac{L}{1-e\cos \theta }$

ここでテンプレート:Mathは軌跡を成す点が二つの頂点に対して成す角である。

円鎖の共役

• n=4での円鎖の共役
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  赤と青の円に対する4円でのシュタイナーの円鎖
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  左図と同じではあるが最初の円を変えたもの
• 
  左図と同じではあるが最初の円を変えたもの

シュタイナーの円鎖は偶数個の円で構成されるならば、同じ図形内で元の2円を円鎖の正反対の円に変えても、他の円で円鎖が起きているとみなすことができる。元の円鎖がテンプレート:Mvar個でテンプレート:Mvar周期、初めの円を変えた後の円鎖がテンプレート:Mvar個でテンプレート:Mvar周期とすれば、以下の式が成り立つ。

$\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=\frac{1}{2}.$

もっとも簡単なものは円鎖が4円で構成されていて周期が1の時である。より一般的には、シュタイナーの円鎖を成す円はすべて4円と接して、与円2つはn個の円と接しているが、この場合は与円2つと、円鎖を成す4円は、すべて4つの円と接していることになる。したがってテンプレート:Mathなので下記の様に式が成立していることが分かる。

$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$

一般化

ソディの六球連鎖はシュタイナーの円鎖の3次元への拡張である。

シュタイナーの円鎖の自然な一般化は、与円が交わっているときである。一点で交わる、つまり接しているときはパップス円鎖となる。パップス円鎖は無限個の円から成る。

ソディの六球連鎖は6円のシュタイナーの円鎖を3次元に一般化した場合である。このとき六球の中心は同一円錐曲線、特に楕円上にある。六球の中心をある平面に固定したとき、六球連鎖の包絡線はテンプレート:仮リンクと呼ばれる図形となり、その反転はトーラスとなる。六球は与円にそれぞれ内接、外接するだけでなく他のある二球にも接している。

階層的に、シュタイナーの円鎖は別の一般化をすることができる。普通のシュタイナーの円鎖の2円が入れ子になっている、すなわち一方の円がもう一方の円に完全に収まっている場合、シュタイナーの円鎖は大きい方の与円に内接することになる。階層的なシュタイナーの円鎖ではシュタイナーの円鎖のそれぞれの円はそれ自身が他のシュタイナーの円鎖の円に内接している。この過程を続けていくと、アポロニウスのギャスケットのようなフラクタルを作ることができる。

関連項目

• ポンスレの閉形定理
• フォードの円
• アポロニウスの問題
• デカルトの円定理

論文

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:Mathworld
• Interactive animation of a Steiner chain, CodePen
• nteractive Applet by Michael Borcherds showing an animation of Steiner's Chain with a variable number of circles made with GeoGebra.