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{{Pathnav|[[数学]]|[[位相空間]]|frame=1}}
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位相空間が'''コンパクト'''（{{lang-en-short|compact}}, {{IPA|/kəmˈpækt/}}<ref>{{cite web
|url = https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/compact
|title = Cambridge English Dictionary
|accessdate = 2021-01-19
}}</ref>）であるとは、後述する所定の性質を満たす「性質の良い」空間であり、<math>\mathbb{R}^n</math>上の有界閉集合の性質を抽象化したもの。

「完閉」という訳語もあるが、ほとんど使われていない。

位相空間{{Mvar|X}}の部分集合{{Mvar|Y}}に対し、{{Mvar|Y}}の{{Mvar|X}}における閉包がコンパクトであるとき{{Mvar|Y}}は{{Mvar|X}}で'''相対コンパクト'''（{{Lang-en-short|relatively compact}}）であるという。

なお[[ブルバキ]]などでは、本項でいうコンパクトを準コンパクト（{{lang-en-short|quasi-compact}}）、準コンパクトで[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフの分離公理]]を満たすものをコンパクトと定義することもある。これは現代でも[[代数幾何学]]においては慣習的にそうである。

== 概要 ==

=== 動機 ===
<math>\mathbb{R}^n</math>の有界閉集合{{Mvar|X}}は位相空間として「性質が良く」、例えば以下が成立する事が知られている：

* {{Mvar|X}}から<math>\mathbb{R}</math>への連続写像は必ず最大値・最小値を持つ
* {{Mvar|X}}から<math>\mathbb{R}</math>への連続写像は必ず[[一様連続]]である
* {{Mvar|X}}から<math>\mathbb{R}^n</math>への[[単射]]{{Mvar|f}}が連続なら、逆写像<math>f^{-1}~:~f(X) \to X</math>も連続である。

このような「性質の良い」空間を一般の位相空間に拡張して定義したものがコンパクトの概念である。


ただし、「<math>\mathbb{R}^n</math>の有界閉集合」という概念自身は、「[[有界]]」という[[距離空間|距離]]に依存した概念に基づいているため、一般の位相空間では定義できず、別の角度からコンパクトの概念を定義する必要がある。


そのために用いるのが[[ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理|ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理]]と[[ハイネ・ボレルの被覆定理]]である。これらの定理はいずれも「<math>\mathbb{R}^n</math>の有界閉集合であれば◯◯」という形の定理であるが、実は逆も成立する事が知られており、<math>\mathbb{R}^n</math>においては

# 有界閉集合である事
# ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分
# ハイネ・ボレルの定理の結論部分

の３つは同値となる。しかも上記の２，３はいずれも位相構造のみを使って記述可能である。


したがって２もしくは３の一方を満たす（同値なので実は２，３の両方を満たす）事をもってコンパクト性を定義する。ただしテクニカルな理由により、上記の２に関しては若干の補正が必要になるが、これについては後述する。

=== ２種類の同値な定義 ===
コンパクトの概念は以下に述べる同値な２性質の少なくとも一方（したがって両方）を満たす事により定義される。

==== ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性による定式化 ====
１つ目の性質は'''(有向点族に対する)ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性'''といい、これは<math>\mathbb{R}^n</math>の有界閉集合に対する[[ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理|ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理]]の結論部分を若干拡張した形で定式化したものである。この性質は直観的には点列の拡張概念である[[有向点族]]の極限が発散する事がない事を意味する。

コンパクトな空間では有向点族が{{mvar|X}}の「外」に「発散」する事がないので、{{mvar|X}}内で「収束」するか「振動」するかのいずれかとなる<ref group="注">この部分の議論はコンパクト化の概念を定義する事により、厳密化する事ができる</ref>。よって任意の有向点族には収束する部分列が取れるはずであり、厳密にはこの事実を持ってコンパクト性を定義する。

コンパクトな空間は「{{mvar|X}}の外に発散する有向点族がない」という意味において、閉集合よりもさらに「閉じた」空間だと言え、実際ハウスドルフ空間においてはコンパクトな部分集合は必ず閉集合になる事が知られている。こうした事情から、コンパクトな空間には「閉」という接頭辞をつけて呼ぶ事があり、例えばコンパクトな[[多様体]]は「閉多様体」と呼ばれる<ref group="注">なお、閉多様体という言葉は書籍により意味の違いがあり、コンパクトな多様体を閉多様体と呼ぶものと、コンパクトで縁のない多様体を閉多様体と呼ぶものが有る</ref>。

==== ハイネ・ボレル性による定式化 ====
コンパクトを特徴づける２つ目の性質（前述のようにこれはボルツァーノ・ワイエルシュトラス性と同値）は'''ハイネ・ボレル性'''といい、これは<math>\mathbb{R}^n</math>の有界閉集合に対する[[ハイネ・ボレルの被覆定理]]の結論部分に相当する性質である。

ハイネ・ボレル性は非常に抽象的な性質なので、その詳細は後の章に譲るが、コンパクトな空間に対する定理を証明する際、無限に伴う証明の困難さを回避するのにこの性質を用いる事ができる。なお、学部レベルの教科書ではハイネ・ボレル性の方をコンパクトの定義として採用しているものが多い。

=== 距離空間における特徴づけ ===
{{mvar|X}}が[[距離空間]]（もしくはさらに一般的に[[一様空間]]）であれば、上記２つのいずれとも異なる角度からコンパクト性を特徴づける事ができる。距離空間{{mvar|X}}がコンパクトである必要十分条件は{{mvar|X}}が'''全有界かつ完備'''である事である。ここで'''全有界性'''とは、有界性を強めた条件で、任意の{{Math|''ε''>0}}に対し、{{Mvar|X}}が有限個の{{Mvar|ε}}-球の和集合で書ける事を意味する。また'''完備性'''は{{mvar|X}}上のコーシー列が必ず収束する事を意味する。

距離空間においてコンパクトの概念は、'''点列コンパクト性'''と呼ばれる性質とも同値になる。これは前述したボルツァーノ・ワイエルシュトラス性が点列に対して成立するという趣旨の概念である。この概念は一般にはコンパクト性よりも弱いが、距離空間であればコンパクト性と同値になる事が知られている。

=== ベクトル空間における特徴づけ ===
<math>\mathbb{R}</math>もしくは<math>\mathbb{C}</math>上の有限次元ベクトル空間（あるいはより一般に有限次元の完備[[リーマン多様体]]）の部分集合{{Mvar|X}}がコンパクトである必要十分条件は、{{Mvar|X}}が有界閉集合である事である。それに対し無限次元ベクトル空間の場合は有界閉集合であってもコンパクトにならない場合がある。前述のように距離空間においてはコンパクト性は全有界かつ完備な事と同値だが、無限次元のベクトル空間の場合は全有界ではない有界閉集合が存在するからである。

なお、<math>\mathbb{R}</math>もしくは<math>\mathbb{C}</math>上のノルム空間{{Mvar|V}}の閉単位球がコンパクトである必要十分条件は{{Mvar|V}}が有限次元である事である（[[リースの補題]]から直接従う）。ただし以上の議論は{{Mvar|V}}にノルムから定まる位相を入れた場合の話であり、それ以外の位相を入れた場合はこの限りではない。例えば{{Mvar|V}}の双対空間{{Mvar|V{{sup|*}}}}に＊弱位相を入れた場合、{{Mvar|V{{sup|*}}}}の閉単位球は（たとえ{{Mvar|V{{sup|*}}}}が無限次元であっても）コンパクトである（[[バナッハ＝アラオグルの定理|バナッハ・アラオグルの定理]]）。

==ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義==
すでに述べたようにコンパクト性には２種類の同値な定義がある。本章ではこの２つの定義のうち、ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性による定義について述べる。

=== 有向点族 ===
{{main|有向集合|有向点族}}本節ではボルツァーノ・ワイエルシュトラス性の定式化に必要な概念である有向点族の概念を導入する。有向点族とは有向集合を添え字とする族である：
{{math theorem|定義|空でない[[集合]]{{mvar|Λ}}と{{mvar|Λ}}上の[[二項関係]]「&#x2264; 」の組 {{math|(Λ, &#x2264;)}}が'''[[有向集合]]'''（ゆうこうしゅうごう、{{lang-en-short|directed set}}）であるとは、「&#x2264; 」が以下の性質を全て満たす事を言う<ref name="Kelly65">[[#Kelly]] pp.65-66.</ref>:
*（[[反射関係|反射律]]）{{math|∀λ∈Λ : λ &#x2264;λ}}
*（[[推移関係|推移律]]）{{math|∀λ,μ,ν∈Λ : λ &#x2264; μ, μ &#x2264;ν ⇒ λ &#x2264; ν}}
* {{mvar|Λ}}の任意の二元が[[順序集合#上界|上界]]を持つ。すなわち{{math|∀λ,μ∈Λ∃ν∈Λ : λ &#x2264; ν, μ &#x2264;ν}}
集合{{mvar|X}}上の'''有向点族'''とは、{{mvar|X}}上の族{{math|(''x''{{sub|''λ''}}){{sub|''λ''∈''Λ''}}}}で添字集合{{mvar|Λ}}が有向集合であるものを指す<ref name="Kelly65" /><ref group="注">より厳密に言うと、有向集合{{math|(''Λ'',&#x2264;)}}と、{{mvar|Λ}}から{{mvar|X}}への写像{{math|''x'' : ''Λ''→''X''}}の組の事を{{mvar|Λ}}を添字集合とする有向点族と呼ぶ</ref>。有向点族は'''ネット''' ({{lang-en-short|net}})、 '''Moore-Smith 列'''({{lang-en-short|Moore-Smith sequence}}<ref name="Schechter7.6">[[位相空間#Schechter|#Schechter]] 7.6</ref>)、'''generalized sequence'''<ref name="Schechter7.6" />などとも呼ばれる。
|note='''有向集合'''・'''有向点族'''}}
なお、有向集合の二項関係「&#x2264; 」は、反射律と推移律を満たすのものの反対称律は満たす必要がないので、前順序ではあるものの[[順序集合|順序]]の定義は満たしていない。

点列と同様、有向点族に対して'''収束'''概念や'''部分有向点族'''の概念を定義する事ができる。詳細は[[有向点族]]の項目を参照されたい。

有向点族の概念は、点列概念と違い、添字が[[可算集合|可算]]である事も全順序である事も要求しない。この事が有向点族に点列にはない優位性をもたらしており、例えば有向点族の収束の概念を用いれば、閉集合など位相空間の諸概念を特徴づける事ができる事が知られているが、点列の場合はそうではない。なぜなら点列概念は添字が可算である事が原因となり、点列で閉集合を特徴づけるには位相空間の方にも何らかの可算性を要求する必要が生じてしまうからである。詳細は[[列型空間]]を参照。

=== 定義 ===
{{math theorem|定義|
位相空間<math>(X,\mathcal{O})</math>が以下の性質を満たすとき、<math>(X,\mathcal{O})</math>は'''コンパクト'''であるという<ref name="Kelly135-136">[[コンパクト空間#Kelly|#Kelly]] pp.135-136.</ref>：
* ('''有向点族に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラス性''') {{mvar|X}}上の任意の有向点族<math>(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}</math>に対し、<math>(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}</math>のある部分有向点族<math>(x_{\lambda_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}</math>と{{math|''x''∈''X''}}が存在し、<math>(x_{\lambda_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}</math>は{{math|''x''∈''X''}}に収束する
|note='''ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義'''{{Anchors|ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義}}}}

上記の定義は、<math>\mathbf{R}^n</math>上の有界閉集合に関する[[ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理|ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理]]の結論部分を有向点族に自然に拡張したものである：
{{math theorem|定理|
<math>X\subset\mathbf{R}^n</math>が有界閉集合であるとき、{{mvar|X}}上の任意の点列は収束する部分列を持つ。
|note=[[ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理|ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理]]}}なお、コンパクトの定義において、元々のボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と同様、有向点族ではなく点列に対してのみ収束部分列を要求したものを'''点列コンパクト性'''と呼ぶが、点列コンパクト性は[[コンパクト空間#距離空間におけるコンパクト性の特徴づけ|距離空間においてはコンパクト性と同値]]（より一般的に[[コンパクト空間#擬距離化可能空間におけるコンパクト、可算コンパクト、点列コンパクト、擬コンパクトの同値性|擬距離空間でも同値]]）であるものの、無条件にはこの同値性は成立しない。点列コンパクト性に関する詳細は後述する。

==ハイネ・ボレル性によるコンパクト性の定義==

次にコンパクトの概念を全く違う角度から特徴づける。この特徴付けの基盤となるのは<math>\mathbf{R}^n</math>の有界閉集合に対する'''[[ハイネ・ボレルの被覆定理]]'''である。そこでまず、この定理の記述に必要な概念を定義する。

{{math theorem|定義|
<math>(X,\mathcal{O})</math>を位相空間とし、<math>\mathcal{S}</math>を{{mvar|X}}の部分集合の集合とする。
: <math>\cup_{O\in \mathcal{S}}O =X</math> 
が成立するとき、<math>\mathcal{S}</math>は{{mvar|X}}を'''被覆する'''といい、特に<math>\mathcal{S}</math>の元が全て開集合であるとき、<math>\mathcal{S}</math>を{{mvar|X}}の'''開被覆'''({{lang-en-short|open cover}})という。
|note=開被覆}}

=== 定義 ===
コンパクト性の概念は以下のように特徴づける事ができる：{{math theorem|定義|位相空間<math>(X,\mathcal{O})</math>が以下の性質を満たすとき<math>(X,\mathcal{O})</math>は'''コンパクト'''であるという<ref name="Kelly135-136" />：
* ('''ハイネ・ボレル性''') {{mvar|X}}の任意の開被覆<math>\mathcal{S}</math>に対し、<math>\mathcal{S}</math>のある有限部分集合<math>\mathcal{T}</math>が存在し、<math>\mathcal{T}</math>は{{mvar|X}}を被覆する<ref name="Kelly135-136" />。|note='''ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義'''{{Anchors|ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義}}}}
{{math theorem|定理|ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義は[[コンパクト空間#ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義|ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義]]と同値である<ref name="Kelly135-136" />。|note='''２つの定義が同値であること'''{{Anchors|ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義}}}}

上述の定義における<math>\mathcal{T}</math>の事を<math>\mathcal{S}</math>の'''有限部分被覆'''という。

もともとのハイネ・ボレルの定理は以下のように記述できる：{{math theorem|定理|<math>\mathbb{R}^n</math>の部分集合{{mvar|X}}が有界閉集合であれば、（<math>\mathbb{R}^n</math>から誘導される部分位相に関して）[[コンパクト空間#ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義|ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義]]を満たす。|note=ハイネ・ボレルの被覆定理}}

後述するように、実は逆向きも成立する事が知られているので、<math>\mathbb{R}^n</math>においてはコンパクト性は有界閉集合である事と同値である。なお、一般の距離空間では「コンパクト部分集合⇒有界閉集合」は言えるが逆向きは成立するとは限らない。

===有限交差性===
ハイネ・ボレル性による定義における「開集合」の補集合を取って「閉集合」とし、さらに対偶を取る事で、コンパクト性の以下の特徴づけが得られる：{{math theorem|定義|<math>(X,\mathcal{O})</math>を位相空間とし、{{mvar|X}}の閉集合の任意の集合<math>\mathcal{F}</math>が以下の性質を満たすとき、<math>\mathcal{F}</math>は'''[[有限交差性]]'''を満たすという：
*<math>\mathcal{F}</math>の任意の有限部分集合<math>\mathcal{F}'</math>が、<math>\cap_{F\in\mathcal{F}'}F\neq\emptyset</math>を満たす。{{Anchors|有限交差性の定義}}}}
{{math theorem|定理|<math>(X,\mathcal{O})</math>がコンパクトである必要十分条件は以下の性質が成立する事である<ref name="Kelly135-136" />：
* {{mvar|X}}の閉集合の任意の集合<math>\mathcal{F}</math>が有限交差性を満たせば<math>\cap_{F\in\mathcal{F}}F\neq\emptyset</math>が成立する。|note='''有限交差性によるコンパクトの特徴づけ'''{{Anchors|有限交差性によるコンパクト性の特徴づけ}}}}この条件は[[区間縮小法]]の一般化になっているとみなすことができ、位相空間における存在証明に重要な役割を果たす。

=== 利用例 ===
ハイネ・ボレル性は定理の証明などで{{mvar|X}}の各点{{mvar|x}}の近傍<math>O_x</math>上で局所的に示されている性質を{{mvar|X}}全体に広げる際に用いられる。この場合、ハイネ・ボレル性でいう開被覆<math>\mathcal{S}</math>は典型的には各点の近傍の集合<math>\mathcal{S}=\{O_x \mid x\in X\}</math>であり、ハイネ・ボレル性はこの無限個の開集合からなる開被覆から有限部分被覆<math>\mathcal{T}</math>を抽出して、無限に伴う証明の困難さを回避する事を可能にする。

具体的には以下の定理の証明をもとに、ハイネ・ボレル性の使い方を説明する：{{math theorem|定理|距離空間{{mvar|X}}、{{mvar|Y}}に対し、{{mvar|X}}がコンパクトであれば、{{mvar|X}}上定義された任意の連続関数<math>f~:~X \to Y</math>は一様連続である|note='''[[ハイネ・カントールの定理]]'''}}

この定理は、ハイネ・ボレル性を利用して以下のように証明する。まず{{mvar|f}}の連続性により、任意に{{math|''ε''>0}}を固定するとき、{{mvar|X}}の各点{{mvar|x}}の、ある{{math|''δ''{{sub|''x''}}}}-近傍が<math>f(B_{\delta_x}(x))\subset B_{\varepsilon}(f(x))</math>を満たす。ここで<math>B_{\varepsilon}(y)</math>は点{{Mvar|y}}の''ε''-[[近傍]]を表す。

この<math>\delta_x</math>は{{mvar|x}}に依存しているが、もしも正数<math>\varepsilon</math>を与えたときに<math>f(B_{\delta}(x))\subset B_{\varepsilon}(f(x))</math>を満たす正数{{mvar|δ}}が点{{mvar|x}}に依らずに選べるのであれば<math>f</math>の<math>X</math>における一様連続性が言える。そのような{{mvar|δ}}を見つける単純な方法は
:<math>\delta=\inf_{x\in X}\delta_x</math>
とする事だが、{{mvar|x}}の選択は無限にあるので、{{mvar|δ}}は0になる可能性があるからうまくいかない。

そこでハイネ・ボレル性を使って開被覆<math>\mathcal{S}=\{B_{\delta_x/2}(x)|x\in X\}</math>の有限部分被覆<math>\mathcal{T}=\{B_{\delta_{x_i}/2}(x_i)|i=1,\ldots,n\}</math>を選び、
:<math>\delta=\min_{i}\delta_{x_i}/4</math>
とすれば<math>\delta_{x_i}</math>の'''個数は有限個なので'''{{math|''δ''>0}}であることが保証される。

しかも<math>\mathcal{T}</math>が{{Mvar|X}}を被覆している事から、任意の{{Math|''x'' ∈ ''X''}}に対し、<math>x\in B_{\delta_{x_i}}(x_i)</math>となる{{Mvar|x{{sub|i}}}}が存在して、
:<math>
f(B_{\delta}(x))\subset f(B_{\delta_i}(x))\subset B_{\varepsilon}(f(x))
</math>
となることから<math>f</math>の<math>X</math>における一様連続性が言える。

==それ以外の特徴づけ==
コンパクト性は、有向点族と本質的に同値な概念である[[フィルター (数学)|フィルター]]の収束によっても特徴づけられる。また普遍有向点族やその対応概念である超フィルターを用いても特徴づける事ができる。これまでに述べて特徴づけも含め、こうしたコンパクト性の様々な特徴づけを列挙する{{math theorem|定理|位相空間<math>(X,\mathcal{O})</math>に対し、以下は全て同値である。
* {{mvar|X}}は[[コンパクト空間#ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義|ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義]]を満たす。
*{{mvar|X}}は [[コンパクト空間#有限交差性によるコンパクト性の特徴づけ|有限交差性によるコンパクトの定義]]を満たす。
* {{mvar|X}}は[[コンパクト空間#ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義|ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義]]を満たす
* {{mvar|X}}上の任意の[[フィルター (数学)|フィルター]]は収束する細分を持つ
* {{mvar|X}}上の任意の有向点族は集積点を持つ
* {{mvar|X}}上の任意の[[フィルター (数学)|フィルター]]は集積点を持つ
* {{mvar|X}}上の任意の[[有向点族#普遍有向点族|普遍有向点族]]は収束する
* {{mvar|X}}上の任意の[[超フィルター]]は収束する|note='''コンパクトの特徴づけ'''}}

== 性質 ==

===閉集合===

コンパクトな位相空間の部分集合に関し、以下が言える：
* コンパクト空間の部分集合が閉集合ならコンパクトである。
* ハウスドルフの分離公理を満たす位相空間のコンパクト部分集合は閉集合である。

したがってコンパクトかつハウスドルフな位相空間（'''コンパクトハウスドルフ空間'''）では部分集合Aが閉集合である事とAがコンパクトである事は同値である。

===コンパクト性の遺伝===
* コンパクト空間から位相空間への連続写像の像はコンパクト集合である。
*（有限個または無限個の）コンパクト空間の直積はコンパクトである。（[[チコノフの定理]]。この定理は[[公理的集合論|ZF]] のもとで[[選択公理]]と同値である<ref>[[コンパクト空間#Schechter|#Schechter]] p.461.</ref>）

===その他===
*コンパクト空間から[[ハウスドルフ空間]]への連続な全単射写像は[[位相同型|同相写像]]である。
*コンパクト空間から実数体への連続関数は[[連続 (数学)#一変数実関数の連続性|一様連続]]である。（ここから連続関数がリーマン可積分であることが言える）
* コンパクトハウスドルフなら正規<ref name="Kelly141">[[コンパクト空間#Kelly|#Kelly]] p.141.</ref>

== 距離空間におけるコンパクトの特徴づけ ==
''X'' が[[距離空間]]であれば、コンパクト性をまた別の方法で特徴づける事ができる。まずは結論となる定理を提示し、それから定理の記述に必要な概念を順に導入する。

{{math theorem|定理|
''X'' を距離空間とするとき以下の3つは同値である。
# ''X'' はコンパクトである。
# ''X'' は[[全有界]]かつ[[完備]]である。
# ''X'' は点列コンパクトである。|note='''距離空間におけるコンパクト性の特徴づけ'''<ref>[[コンパクト空間#内田|#内田]] p.146</ref>{{Anchors|距離空間におけるコンパクト性の特徴づけ}}}}

=== 定理の記述に必要な諸概念 ===

==== 全有界性 ====
距離空間{{mvar|X}}が全有界であるとは任意の ''ε''&nbsp;>&nbsp;0 に対し、''X'' を半径 ''ε'' の有限個の開球で被覆する事ができる事を指す：

{{math theorem|定義|
距離空間{{mvar|X}}が'''全有界'''（ぜんゆうかい、{{lang-en-short|totally bounded}}）もしくは'''プレコンパクト'''（{{lang-en-short|precompact}}）であるとは任意の {{math|''ε''&nbsp;>&nbsp;0}} に対し、{{mvar|X}}の有限部分集合 <math>F\subset X</math> が存在し、
:<math>
X = \bigcup_{x\in F}B_{\varepsilon}(x)
</math>
となる事を指す。（ここで<math>B_{\varepsilon}(x)</math>は点{{mvar|x}}の{{mvar|ε}}-[[近傍]]<math>B_{\varepsilon}(x)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon\}</math>を表す。）
|note='''全有界性'''}}

全有界性は以下のようにも特徴づけられる事が知られている：

{{math theorem|name=定理2|1=
距離空間{{mvar|X}}が全有界である必要十分条件は以下を満たす事である：
{{mvar|X}}上の任意の点列に対しある部分列が存在し、その部分列はコーシー列である<ref>[[コンパクト空間#内田|#内田]] pp.145-146.なお、この文献では必要性しか示されていないが、十分性に関しても以下のアイデアで示せる：<math>\bar{X}</math>を{{mvar|X}}の完備化とすると、仮定より<math>\bar{X}</math>上の点列はコーシー列を部分列に持ち、<math>\bar{X}</math>は完備なのでこのコーシー列は収束する。すなわち<math>\bar{X}</math>は点列コンパクトである。点列コンパクトは全有界かつ完備である事と同値なので、<math>\bar{X}</math>は全有界であり、したがって{{mvar|X}}も全有界である。</ref>。
}}

==== 完備性 ====

{{math theorem|定義|
距離空間 ''X'' が'''[[完備]]'''であるとは ''X'' 上の[[コーシー列]]は必ず収束する事を指す。
}}
詳細は[[完備距離空間]]の項目を参照されたい。

==== 点列コンパクト ====

位相空間が点列コンパクトとは、一般の有向集合ではなく点列に対してのみボルツァーノ・ワイエルシュトラス性が保証される事を意味する<ref group="注">単に「ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性」といったとき有向点族に対するものを指すのか点列に対するものを指すのかは書籍により異なるので注意が必要である。</ref>：
{{math theorem|定義|
位相空間 ''X'' が'''[[点列コンパクト空間|点列コンパクト]]'''であるとは、''X'' 上の任意の点列は収束部分列を持つ事を指す。すなわち ''X'' 上の任意の点列 <math>\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}</math> に対し適当な部分列 <math>\{x_{n_i}\}_{i\in\mathbb{N}}</math> を取れば <math>\{x_{n_i}\}_{i\in\mathbb{N}}</math> は ''X'' 上のいずれかの点に収束する事を指す。

点列コンパクト性の事を'''点列に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラス性'''とも言う。}}コンパクトと点列コンパクトの同値性は[[コンパクト空間#擬距離化可能空間におけるコンパクト、可算コンパクト、点列コンパクト、擬コンパクトの同値性|擬距離空間でも成立]]するが、無条件には成立しない。点列コンパクト性に関する詳細は[[コンパクト空間#点列コンパクトの性質|後述]]する。

=== 有限次元ベクトル空間におけるコンパクト性 ===
{{Anchors|有限次元空間におけるコンパクト性}}距離空間においては[[コンパクト空間#距離空間におけるコンパクト性の特徴づけ|コンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事]]をユークリッド空間に適用すると、以下の系が従う：{{math theorem|name=系|1=
有限次元のユークリッド空間（あるいはより一般に完備[[リーマン多様体]]）の部分集合 ''A'' がコンパクトである必要十分条件は ''A'' が有界閉集合である事である。
}}

より正確に言うと有限次元のユークリッド空間や完備[[リーマン多様体]]の部分集合に対しては、有界性と全有界性が同値であり、完備性と閉集合である事が同値である。これらの事実は簡単に証明できる。

=== 一様空間への一般化 ===
[[コンパクト空間#距離空間におけるコンパクト性の特徴づけ|コンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事]]は距離空間よりも一般的な[[一様空間]]でも成立する：
{{math theorem|定理|
''X'' を一様空間とするとき以下の3つは同値である。
# ''X'' はコンパクトである。
# ''X'' は[[全有界]]かつ[[完備]]である。
|note='''一様空間におけるコンパクト性の特徴づけ'''}}

一様空間の定義は[[一様空間|当該項目]]を参照されたい。一様空間における全有界性と完備性は以下のように定義される：{{math theorem|定義・定理|<math>(X,\mathcal{U})</math>を一様空間とし、{{mvar|D}}を{{mvar|X}}上の擬距離の集合で{{mvar|D}}が定める一様構造が<math>\mathcal{U}</math>と一致するものとする。

このとき以下の条件は全て同値である。これらの条件の少なくとも１つ（したがって全て）を満たすとき、<math>(X,\mathcal{U})</math>は'''全有界'''({{lang-en-short|totally bounded}})もしくは'''プレコンパクト'''({{lang-en-short|precompact}})であるという<ref>[[一様空間#Kelly|#Kelly]] p.198.</ref><ref>[[一様空間#Schechter|#Schechter]] pp.505-506.</ref>。
* 任意の近縁<math>U\in \mathcal{U}</math>に対し、ある有限集合{{math|''F''∈''X''}}が存在し、<math>\cup_{x\in F}U[x]=X</math>である。
* 任意の擬距離{{math|''d''∈''D''}}と任意の実数{{math|''ε''>0}}に対し、{{mvar|X}}の有限部分集合{{mvar|F}}が存在し、<math>\cup_{x\in F}\{y \mid d(x,y)<\varepsilon\}=X</math>が成立する。
* {{mvar|X}}上の任意の有向点族は部分有向点族でコーシーなものを持つ。|note='''一様空間における全有界性'''}}{{math theorem|定義|
距離空間 ''X'' が'''[[完備]]'''であるとは ''X'' 上の任意のコーシー有向点族が少なくとも１つ極限を持つ事をいう。
|note='''一様空間の完備性'''}}
上で「少なくとも１つ極限を持つ」という言い方をしているのは、<math>\mathcal{U}</math>が定める位相構造が[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]]でない限り、有向点族の収束の一意性は保証されないからである。

=== Niemytzki-Tychonovの定理 ===
擬距離化可能空間においてコンパクト性は以下のようにも特徴づける事ができる：{{math theorem|定理|{{mvar|X}}を擬距離化可能な位相空間とするこのとき{{mvar|X}}がコンパクトである必要十分条件は、{{mvar|X}}上の任意の擬距離{{mvar|d}}（でその擬距離の定める位相が{{mvar|X}}の位相と一致するもの）に対し、擬距離空間<math>(X,d)</math>が完備である事である<ref>[[コンパクト空間#Schechter|#Schechter]] p.507</ref>。|note='''Niemytzki-Tychonovの定理'''}}
== 無限次元空間におけるコンパクト性 ==
[[コンパクト空間#有限次元空間におけるコンパクト性|すでに述べたように]]、有限次元ベクトル空間やより一般に有限次元の完備リーマン多様体の部分集合に対してはコンパクト性は有界閉集合と等しい。一方無限次元の空間の場合は、どのような空間にどのような位相を入れるかにより結論が異なる。

=== 無限次元ベクトル空間 ===

==== ノルムから位相を入れた場合 ====
[[ノルム]]から位相を入れたベクトル空間（[[ノルム線型空間|'''ノルム空間''']]）に対しては[[リースの補題]]から直接的に次の事実が従う：
{{math theorem|name=命題|1=
<math>\mathbb{R}</math>もしくは<math>\mathbb{C}</math>上の[[ノルム線形空間|ノルム空間]]{{mvar|V}}の閉単位球がコンパクトである必要十分条件は{{mvar|V}}が有限次元である事である。
}}

{{Anchors|無限次元ノルム空間における反例}}

この定理を具体例を通して説明すると、例えば[[数列空間|&#8467;<sup>2</sup>空間]]
:<math>\ell^2=\{x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\mid \sum_nx_n{}^2<\infty\}</math>
に&#8467;<sup>2</sup>ノルム
:<math>\|x\|=\left(\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n{}^2\right)^{1 \over 2}</math>
から定まる距離を入れた空間の閉単位球
:<math>B=\{x\in \ell^2\mid \|x\|\le 1\}</math>
はコンパクトでは'''ない'''。

実際、
:<math>\mathbb{e}_n=(\delta_{n,k})_{k\in\mathbb{N}}</math>
とすると（ここで{{mvar|δ{{sub|n,k}}}}は[[クロネッカーのデルタ]]）、
: <math>\|\mathbb{e}_n-\mathbb{e}_m\|=\sqrt{2}</math> for {{math|''n''≠''m''}}
であるので、<math>(\mathbb{e}_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset B</math>のいかなる部分列<math>(\mathbb{e}_{n_i})_{i\in\mathbb{N}}</math>もコーシー列の条件
: <math>\lim_{i,j\to \infty}\|\mathbb{e}_{n_i}-\mathbb{e}_{n_j}\|=0</math>
を満たしえず、したがって<math>(\mathbb{e}_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset B</math>は収束部分列を持たない為点列コンパクトではなく、よってコンパクトでもない。

&#8467;<sup>2</sup>空間の閉単位球{{mvar|B}}がコンパクトにならない原因は、{{mvar|B}}は有界であっても全有界ではないからである。実際、<math>\|\mathbb{e}_n-\mathbb{e}_m\|=\sqrt{2}</math> for {{math|''n''≠''m''}}であるので、<math>\varepsilon<\sqrt{2}/2</math>を満たす正数{{mvar|ε}}に対しては、各<math>\mathbb{e}_1,\mathbb{e}_2,\ldots</math>を覆うために一つずつ{{mvar|ε}}-球を用いる必要があるので、可算無限個の{{mvar|ε}}-球が必要となり、全有界ではない。

==== ＊弱位相の場合 ====
一方、無限次元空間であってもノルムから定まる位相以外の位相に関しては閉単位球がコンパクトになる事もある：{{math theorem|name=定理|1=
{{mvar|K}}を<math>\mathbb{R}</math>もしくは<math>\mathbb{C}</math>とする。このとき{{mvar|K}}上のノルム空間{{mvar|V}}の[[双対空間]]{{mvar|V{{sup|*}}}}に＊弱位相を入れると、({{mvar|V}}が無限次元であっても){{mvar|V{{sup|*}}}}の閉単位球はコンパクトである。
|note='''[[バナッハ＝アラオグルの定理|バナッハ・アラオグルの定理]]'''}}ここでノルム空間{{Mvar|V}}の'''双対空間'''{{Mvar|V{{sup|*}}}}は{{Mvar|V}}上の{{Mvar|K}}値連続線形写像全体を関数としての和と定数倍によりベクトル空間とみなしたものであり、[[弱位相|'''＊弱位相''']]とは{{Math|''x'' ∈ ''V''}}に対し、
: <math>\mu_x\colon\alpha\in V^* \mapsto \alpha(x)\in K</math>
とするとき、{{Mvar|μ{{sub|x}}}}が全て連続になる{{Mvar|V{{sup|*}}}}上の最弱の位相の事である。なお{{Mvar|V{{sup|*}}}}は[[作用素ノルム]]によりノルム空間とみなせ、上記の定理で言う「閉単位球」はこのノルムに関する閉単位球の事である。

＊弱位相はハウスドルフ性を満たす事が知られており、コンパクトな空間の閉部分集合はコンパクトなので、以下の系が成立する：{{math theorem|name=系|1=
{{mvar|V*}}に＊弱位相を入れた空間の有界閉集合はコンパクト
}}なお、{{Mvar|V}}が再帰的であれば{{Mvar|V}}上の[[弱位相]]に関しても同様な事が成立する事が知られているが、再帰的でない場合には反例がある事が知られている<ref>[[コンパクト空間#Heil|#Heil]] p.3.</ref>。

注意しなければならないのは、＊弱位相における有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、たとえ閉単位球がコンパクトであっても＊弱位相をいれた{{Mvar|V{{sup|*}}}}が後述する[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]]にはなっていない事を意味する。

===コンパクト空間の直積===
本節では位相空間の（有限個または無限個の）直積には２種類の位相が入り、コンパクト空間の無限個の直積に前者の位相を入れた場合はコンパクトになるが、後者の位相を入れた場合はそうなるとは限らない事を見る。

==== 直積位相と箱型積位相 ====
<math>(X_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}</math>を位相空間の族するとき、<math>\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}</math>には以下の２種類の位相が入る。
{{math theorem|name=定義|1=
<math>(X_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}</math>を位相空間の族とする。このとき、
* 全ての射影<math>p_{\lambda}\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}\to X_{\lambda} </math>を連続にする最弱の位相を'''[[直積位相]]'''もしくは'''チコノフ位相'''という。
* <math>\{\prod_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\mid \forall \lambda\in\Lambda~:~O_{\lambda}\in\mathcal{O}_{\lambda}\}</math>を開基とする位相を'''{{仮リンク|箱型積位相|en|box topology}}'''という<ref>[[位相空間#内田|#内田]] p.95</ref>。
|note='''直積位相、箱型積位相'''}}これら２つの位相は有限個の直積<math>X_1\times\cdots\times X_n</math>を考えている場合は同一であるが、無限積を考えた場合には箱型積位相のほうが直積位相よりも強い（弱くない）位相になる。これを見るために直積位相を具体的に書き表すと、以下のようになる事が知られている：{{math theorem|定理|上の定義と同様に記号を定義するとき、
直積位相は
:<math>\Bigg\{\prod_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\ \Bigg|\ O_{\lambda}\in \mathcal{O}_{\lambda}</math>, 有限個のλを除いて<math>O_{\lambda}= X_{\lambda}\Bigg\}</math>
を開基とする。}}Λが無限集合のときは、「有限個のλを除いて…」という条件が原因で、箱型積位相と差が生じる。例えば<math>\mathbb{R}_1,\mathbb{R}_2,\ldots</math>を<math>\mathbb{R}</math>の(可算)無限個のコピーとし、<math>U_1,U_2,\ldots</math>を<math>U=(0,1)</math>の無限個のコピーとするとき、直積

: <math>\prod_{i\in\mathbb{N}}U_i</math>

は直積位相に関して

: <math>\prod_{i\in\mathbb{N}}\mathbb{R}_i</math>

の開集合'''ではない'''。実際、前述の「有限個を除いて…」という条件を満たしておらず、条件をみたすものの和集合としても書けないからである。

==== チコノフの定理 ====
コンパクト空間の（有限個または無限個の）直積に直積位相位相を入れたものはコンパクトである：{{math theorem|name=定理|1=
<math>(X_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}</math>をコンパクトな位相空間の族とする。このとき直積<math>\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}</math>に直積位相を入れたものはコンパクトである。
|note='''[[チコノフの定理]]'''{{Anchors|チコノフの定理}}}}

なおチコノフの定理は([[ZFC公理系|ZF公理系]]を仮定した上で)選択公理と同値である事が知られている<ref>[[コンパクト空間#内田|#内田]] p.118.</ref>。

チコノフの定理より例えば<math>\mathbb{R}</math>上の単位区間<math>I=[0,1]</math>の無限個のコピー<math>I_1,I_2,\ldots</math>の直積<math>\prod_{i\in\mathbb{N}}I_i</math>に直積位相を入れたものはコンパクトである。

一方<math>\prod_{i\in\mathbb{N}}I_i</math>に箱型積位相を入れたものはコンパクトでは'''ない'''。実際、<math>x=(x_i)_{i\in\mathbb{N}}\in\prod_{i\in\mathbb{N}}I_i</math>に対し、ノルムを
: <math>\|x\|_{\infty}=\sup_i|x_i|</math>

と定義すると、箱型積位相はこのノルムから定まる位相と一致する事を簡単に確かめる事ができる。そこで<math>\mathbb{e}_n=(\delta_{n,k})_{k\in\mathbb{N}}</math>として[[コンパクト空間#無限次元ノルム空間における反例|無限次元ノルム空間の場合]]と同様の議論でコンパクトでない事を示せる。

==コンパクト化==
位相空間''X'' の'''[[コンパクト化]]'''とは ''X'' をコンパクトな位相空間に[[稠密集合|稠密]]に埋め込む操作を指す。コンパクトな空間は数学的に取り扱いやすい為、''X'' をそのような空間に埋め込む事で ''X'' の性質を調べやすくする事ができる。コンパクトでない位相空間に一点付け加えるだけでコンパクト化する方法が必ず存在する(アレクサンドロフの一点コンパクト化)他、いくつかのコンパクト化の方法が知られている。実用上は ''X'' の構造を保つなど、''X'' の性質が調べやすくなるコンパクト化の方法を選ぶ必要がある（例えば ''X'' が多様体であるときにコンパクト化 ''K'' として多様体になるものを選ぶ等）。
{{see also|コンパクト化}}

==関連概念とその関係性==
コンパクト性は位相空間論における重要概念の一つなので、コンパクト性の定義を拡張したり修正したりした概念が複数存在する。本節ではこうした概念を紹介し、それらの関係性を述べる。

=== 可算コンパクト、点列コンパクト、擬コンパクト ===
{{Anchors|点列コンパクトの性質}}これらの概念は以下のように定義される。点列コンパクトの定義は前の章ですでに述べたがが再掲している：
{| class="wikitable"
|+
!名称
!名称（英語）
!定義
|-
|[[可算コンパクト空間|'''可算コンパクト''']]
|[[:en:countably compact space|countably compact space]]
|{{mvar|X}}の任意の可算開被覆<math>\mathcal{S}</math>は有限部分開被覆<math>\mathcal{T}\subset\mathcal{S}</math>を持つ。ここで{{mvar|X}}の'''可算開被覆<math>\mathcal{S}</math>'''とは開被覆で可算集合であるものをいう。
|-
|'''[[点列コンパクト空間|点列コンパクト]]'''
|[[:en:sequentially compact space|sequentially compact space]]
|''X'' 上の任意の点列は収束部分列を持つ事を指す。すなわち ''X'' 上の任意の点列 <math>\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}</math> に対し適当な部分列 <math>\{x_{n_i}\}_{i\in\mathbb{N}}</math> を取れば <math>\{x_{n_i}\}_{i\in\mathbb{N}}</math> は ''X'' 上のいずれかの点に収束する事を指す。点列コンパクト性の事を'''点列に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラス性'''とも言う。
|-
|'''擬コンパクト'''
|[[:en:pseudocompact space|pseudocompact]]
|{{Mvar|X}}から実数体への連続関数 ''f'' が必ず有界となる
|}
これらの概念は以下の関係性を満たす：{{math theorem|定理|コンパクト⇒点列コンパクト⇒可算コンパクト⇒擬コンパクト{{refn|「コンパクト⇒点列コンパクト」は定義より明らか。「可算コンパクト⇒擬コンパクト」は[[コンパクト空間#Schechter|#Schechter]] p.468より。「点列コンパクト⇒可算コンパクト」は[[コンパクト空間#Kelly|#Kelly]] p.162より可算コンパクト性は任意の点列が集積点を持つ事と同値なので。ここで点{{math|''x''∈''X''}}が点列<math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>の'''集積点'''であるとは、{{mvar|x}}の任意の近傍{{mvar|N}}に対し、<math>x_n\in N</math>となる{{mvar|n}}が無限個ある事をいう（[[コンパクト空間#Kelly|#Kelly]] p.71）{{refn|なお、任意の点列が収束部分列を持つこと（すなわち点列コンパクトである事）と集積点を持つ事とは一見同値にみえるが、{{Mvar|X}}が第一可算公理を満たさない場合は前者のほうが後者よりも一般には強い条件である。{{Mvar|X}}が第一可算公理を満たしさえすれば、点列<math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>の集積点{{math|''x''∈''X''}}の加算近傍系<math>\mathcal{B}</math>に属する各近傍から<math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>の元を一つずつ選ぶことで{{Mvar|x}}に収束する部分列を取れるが（具体的には<math>\mathcal{B}=(B_m)_{m\in\mathbb{N}}</math>とするとき、<math>n_m:=\min \{n\in\mathbb{N} \mid x_n\in \cap_{k\le m}B_m\} </math>とすれば、部分列<math>(x_{n_m})_{m\in\mathbb{N}} </math>は{{Mvar|x}}に収束する）、{{Mvar|X}}が第一可算公理を満たさない場合はこのような手法で{{Mvar|x}}に収束する部分列を作る事ができないからである。|group="注"}}。}}。}}
擬距離化可能な空間ではこれら４つの概念は同値である：{{math theorem|定理|<math>(X,\mathcal{O})</math>を位相空間とする。
{{mvar|X}}が擬距離化可能空間であれば、コンパクト、可算コンパクト、点列コンパクト、擬コンパクトは同値<ref name="Schechter470">[[コンパクト空間#Schechter|#Schechter]] p.470</ref>。
|note='''擬距離化可能空間における同値性'''{{Anchors|擬距離化可能空間におけるコンパクト、可算コンパクト、点列コンパクト、擬コンパクトの同値性}}}}{{Mvar|X}}が擬距離化可能とは限らない場合はこれらは同値とは限らないが、以下のような関係を満たす：{{math theorem|定理|<math>(X,\mathcal{O})</math>を位相空間とする。
* {{mvar|X}}が第一可算公理を満せば、{{mvar|X}}の点列コンパクト性と可算コンパクト性は同値<ref name=Kelly162>[[コンパクト空間#Kelly|#Kelly]] p.162.</ref>。
* {{mvar|X}}がパラコンパクト（後述）で擬コンパクトならコンパクト<ref name="Schechter468">[[コンパクト空間#Schechter|#Schechter]] p.468</ref>。}}

=== 局所コンパクト、σ-コンパクト、リンデレーフ、パラコンパクト、メタコンパクト ===
これらは以下のように定義される：
{| class="wikitable"
|+
!名称
!名称（英語）
!定義
|-
|'''[[局所コンパクト]]'''
|[[:en:Locally compact space|locally compact]]
|{{Mvar|X}}の任意の点がコンパクトな近傍を持つ事。
|-
|'''[[シグマコンパクト|σ-コンパクト]]'''(しぐま-)
|[[:en:σ-compact space|σ-compact space]]
|{{Mvar|X}}は可算個のコンパクト集合の和集合として書ける
|-
|'''[[リンデレフ空間|リンデレーフ]]'''
|[[:en:Lindelöf space|Lindelöf space]]
|''X'' の任意の開被覆は可算部分被覆を持つ
|-
|'''[[パラコンパクト]]'''
|[[:en:Paracompact space|paracompact]]
|{{Mvar|X}}はハウスドルフであり、{{Mvar|X}}の任意の開被覆は局所有限な細分を持つ<ref name="Kelly-paracompact">[[コンパクト空間#Kelly|#Kelly]] pp.156-161.</ref>。ここで ''X'' の被覆<math>\mathcal{T}</math>が被覆<math>\mathcal{S}</math>の'''細分'''({{Lang-en-short|refinement}})であるとは、<math>\mathcal{T}</math>の任意の元{{Mvar|T}}に対して<math>\mathcal{S}</math>の元{{Mvar|S}}が存在して{{Math|''T''⊂''S''}}を満たす事を言う<ref name=":0">[[コンパクト空間#Kelly|#Kelly]] pp.126,128.</ref>。また''X'' の被覆<math>\mathcal{T}</math>が'''局所有限'''({{Lang-en-short|locally finite}})であるとは、任意の{{Math|''x'' ∈ ''X''}}に対し、{{Mvar|x}}の近傍{{Mvar|N}}が存在し、<math>N \cap T \neq \emptyset</math>となる<math>T\in\mathcal{T}</math>が有限個しかない事を指す<ref name=":0" />。
|-
|メタコンパクト
|[[:en:metacompact space|metacompact]]
|''X'' の任意の開被覆はpoint finiteな細分を持つ。ここで被覆<math>\mathcal{T}</math>が'''point finite'''であるとは任意の{{Math|''x'' ∈ ''X''}}に対し、{{Math|''x'' ∈ ''T''}}となる<math>T\in\mathcal{T}</math>が有限個である事を言う<ref name=":1">[[コンパクト空間#Kelly|#Kelly]] p.171.</ref>。
|}
σ-コンパクトの定義に関して留意点を述べる。σ-コンパクトは局所コンパクトと違い、コンパクトな近傍（すなわち内点を持つ集合）である事を要求されていない。これが原因でσ-コンパクトであっても局所コンパクトではない事があり得る。例えば有理数の集合<math>\mathbb{Q}</math>は一点集合（これはコンパクトである）の可算和で書けるのでσ-コンパクトだが、<math>\mathbb{Q}</math>の各点のいかなる近傍も距離空間として完備でないのでコンパクトではなく、よって<math>\mathbb{Q}</math>は局所コンパクトではない。

==== 関係性 ====
以上の概念は以下の関係性を満たす：{{math theorem|定理|<math>(X,\mathcal{O})</math>を位相空間とする。
* {{mvar|X}}が[[第二可算公理]]を満たせばリンデレーフ<ref>[[コンパクト空間#Willard2004|#Willard]]、Theorem 16.9, p. 111</ref>
* {{mvar|X}}が距離化可能空間であれば、リンデレーフ性と第二可算公理と可分性は同値<ref>[[コンパクト空間#Willard2004|#Willard]]、Theorem 16.11, p. 112</ref>
* {{mvar|X}}がσコンパクトかつ[[局所コンパクト]]なら[[パラコンパクト]]である<ref>[[#コンパクト空間の直積|#松島]]，p. 86.</ref>。
* {{mvar|X}}がσ-コンパクトならリンデレーフ空間<ref name=Kelly172>[[コンパクト空間#Kelly|#Kelly]] p.172.</ref>
* {{mvar|X}}が[[正則空間|正則]]リンデレーフ空間であればパラコンパクト<ref name=Kelly172 />
* {{mvar|X}}が擬距離化可能ならパラコンパクト<ref name="Kelly-paracompact" />
* {{mvar|X}}がメタコンパクトなT<sub>1</sub>空間であれば、可算コンパクト性とコンパクト性は同値<ref>[[コンパクト空間#Kelly|Kelly]] p.171.</ref>。|note='''各種概念の関係性'''}}

==== パラコンパクト ====
以上で述べた概念の中で重要なものの一つにパラコンパクトがある。本節ではパラコンパクトの性質について述べる。なおパラコンパクトの定義において我々は文献[[コンパクト空間#Kelly|Kelly]]に従い、ハウスドルフ性を条件として課したが、書籍によってはハウスドルフ性を仮定していないので、注意が必要である。

パラコンパクトに関しては以下のようにも特徴づけられる。なお（ハウスドルフ性を満たす）パラコンパクトな空間は必ず正規空間になる事が知られている<ref name="Kelly-paracompact" />。
{{math theorem|定理|<math>(X,\mathcal{O})</math>を正則な位相空間とするとき、下記の条件は全て同値である<ref name="Kelly-paracompact" /><ref group="注">[[コンパクト空間#Schechter|#Schechter]] p.449ではパラコンパクト性質の条件としてハウスドルフではなくそれより弱い「preregular」を課しているが、この意味でのパラコンパクト性を満たせばハウスドルフになる事が示されているので定義は同値である</ref>：
* {{mvar|X}}はパラコンパクト
* {{mvar|X}}の任意の開被覆は局所有限で開な細分を持つ
* {{mvar|X}}の任意の開被覆は局所有限で閉な細分を持つ

|note='''パラコンパクトの特徴づけ'''}}

ここで細分が開であるとは細分が開被覆になっている事を意味する。同様に細分が閉であるとは細分が被覆になっている事を意味する。上記の定理はパラコンパクトな空間において開被覆が単に局所有限な細分を持つだけでなく、局所有限でしかも開な細分や閉な細分を持つ事を保証している。

コンパクト性は開被覆が、（開な）部分被覆を持つ事を保証しているので、パラコンパクトな空間において開で局所有限な細分が保証される事は、コンパクト性において成り立っている議論をパラコンパクト性に拡張する際に有益である。

パラコンパクトな空間の重要な性質の一つとして、開被覆に従属する１の分割の存在が保証されるというものがある。この事実を述べるためにまず１の分割の定義、およびそれが開被覆と両立する事の定義を述べる：
{{math theorem|定義|<math>(X,\mathcal{O})</math>を位相空間とする。{{mvar|X}}上の'''1の分割'''({{lang-en-short|partition of unity}})とは{{math|(''f''{{sub|''α''}}){{sub|''α''∈''A''}}}}を{{mvar|X}}から{{math|[0,1]}}区間への連続関数
:<math>f_{\alpha}\colon X\to [0,1]</math>
で、以下の2性質を満たすものを言う<ref name="Schechter445">[[コンパクト空間#Schechter|#Schechter]] p.445.</ref>。
# 集合族<math>\{x\in X \mid f_{\alpha}(x)\neq 0\}_{\alpha\in A}</math>は局所有限
# 任意の{{math|''x''∈''X''}}に対し、<math>\sum_{\alpha}f_{\alpha}(x)=1</math>|note='''1の分割'''}}

なお上述の条件1に対する関連概念として関数の台({{Lang-en-short|support}})
:<math>\mathrm{supp}(f)=\overline{\{x\in X\mid f(x)\neq 0\}}</math>
が存在するが、1の分割の定義では関数の台と違い閉包を取っていない事に注意されたい。また条件2において和を取っているが、この和は条件1より各{{Math|''x''∈''X''}}に対して有限和である事が保証されているので、族{{math|(''f''{{sub|''α''}}){{sub|''α''∈''A''}}}}が仮に非可算無限個の元を持っていても和は意味を持つ。

{{math theorem|定義|<math>(X,\mathcal{O})</math>を位相空間とし、<math>(O_{\tau})_{\tau\in T}</math>を{{mvar|X}}の開被覆とし、{{math|(''f''{{sub|''α''}}){{sub|''α''∈''A''}}}}を{{mvar|X}}の1の分割とする。
* 任意の{{math|''α''∈''A''}}に対し、ある{{math|''τ''∈''B''}}が存在し、<math>\{x\in X \mid f_{\alpha}(x)\neq 0\}\subset O_{\tau}</math>が成立するとき、{{math|(''f''{{sub|''α''}}){{sub|''α''∈''A''}}}}は<math>(O_{\tau})_{\tau\in T}</math>に'''従属する'''({{lang-en-short|subordinate}})という<ref name="Schechter445" />。
* {{math|''A''{{=}}''B''}}であり、任意の{{math|''α''∈''A''{{=}}''B''}}に対し、<math>\{x\in X \mid f_{\alpha}(x)\neq 0\}\subset O_{\alpha}</math>が成立するとき、{{math|(''f''{{sub|''α''}}){{sub|''α''∈''A''}}}}は<math>(O_{\tau})_{\tau\in T}</math>に'''正確に従属する'''({{lang-en-short|precisely subordinate}})という<ref name="Schechter445" />。|note='''開被覆に従属する1の分割'''}}

パラコンパクトな空間は開被覆に従属する1の分割で特徴づけられる：
{{math theorem|定理|<math>(X,\mathcal{O})</math>がハウスドルフ空間であるとき、下記の条件は全て同値である<ref>[[コンパクト空間#Schechter|#Schechter]] p.449.</ref><ref group="注">なお[[コンパクト空間#Schechter|#Schechter]] p.449.ではハウスドルフではなくそれより弱い「preregular」(同文献p.439-440参照)をこの定理に課しているが別の注釈ですでに述べたようにパラコンパクトな空間ではpreregularならハウスドルフである</ref>：
* {{mvar|X}}はパラコンパクト
* {{mvar|X}}の任意の開被覆<math>\mathcal{S}</math>に対し、<math>\mathcal{S}</math>に従属する1の分割が存在する。
* {{mvar|X}}の任意の開被覆<math>\mathcal{S}</math>に対し、<math>\mathcal{S}</math>に正確に従属する1の分割が存在する。|note='''1の分割によるパラコンパクトの特徴づけ'''}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{reflist|30em}}

==参考文献==
* {{Cite book|洋書|title=General Topology|date=1975/6/27|publisher=Springer-Verlag|author=John L. Kelly|ref=Kelly|isbn=978-0387901251|year=|pages=|series=Graduate Texts in Mathematics (27)}}
** Kindle版：ASIN : B06XGRCCJ3
** 翻訳版：{{Cite book|和書|title=位相空間論|date=1979/7/1|year=|publisher=吉岡書店|pages=|author=ジョン・L.ケリー|translator=児玉之宏|isbn=978-4842701318|series=数学叢書}}
* {{Cite book|和書|title=集合と位相|date=1986/11/5|year=|publisher=[[裳華房]]|pages=|ref=内田|series=数学シリーズ|author=内田伏一|isbn=978-4785314019}}
* {{Cite book|title=Handbook of Analysis and its Foundations|date=1997/1/15|year=|publisher=Academic Press|isbn=978-0126227604|author=Eric Schechter|ref=Schechter}}
*{{Cite book|和書|title=General Topology|year=2004|publisher=Dover Publications|author=Stephen Willard|isbn=0-486-43479-6|ref=Willard2004}}
*{{cite book|author=松島与三|title=多様体入門|publisher=裳華房|series=数学選書5|year=2008|edition=37|isbn=978-4-7853-1305-0|ref=松島}}
*{{Cite web|url=https://people.math.gatech.edu/~heil/6338/summer08/section9f.pdf|title=Alaoglu's Theorem|accessdate=2021/03/22|publisher=Georgia Institute of Technology|author=Christopher E. Heil|work=LECTURE NOTES, MATH 6338 (Real Analysis II), Summer 2008|ref=Heil}}

==関連項目==
*[[コンパクト化]]
*[[コンパクト作用素]]

{{Topology}}
{{DEFAULTSORT:こんはくとくうかん}}
[[Category:コンパクト空間|*]]
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]