コーシーの平均値定理のソースを表示

{{calculus}}
[[微分積分学]]における'''コーシーの平均値定理'''（コーシーのへいきんちていり、{{lang-en-short|''Cauchy's mean-value theorem''}}）または拡張平均値定理 (extended mean value theorem) はラグランジュの[[平均値の定理]]の一般化である。

== 定理の主張 ==
; 定理 (Cauchy)
: {{math|''f'', ''g'': {{closed-closed|''a'', ''b''}} → '''R'''}} を[[実数値函数]]で {{closed-closed|''a'', ''b''}} で[[連続函数|連続]]、{{open-open|''a'', ''b''}} で[[可微分函数|微分可能]]とするとき、{{math|''c'' ∈ {{open-open|''a'', ''b''}}}} が存在して <math display="block">
 [g(b)-g(a)]f'(c) = [f(b) - f(a)]g'(c)</math> が成立する{{sfn|Soardi|2007|p=222}}。特に {{math|''g''(''a'') ≠ ''g''(''b'')}} かつ {{math|''g&prime;''(''c'') ≠ 0}} ならば <math display="block">
  \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
</math> と書ける。

{{math proof|drop=yes|continue=
区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} 上で定義された実函数 {{mvar|h}} を <math display="block">h(t) = [f(b)-f(a)]g(t) - [g(b)-g(a)]f(t)</math> で定めれば、{{mvar|h}} は {{closed-closed|''a'', ''b''}} で連続、{{open-open|''a'', ''b''}} で微分可能で、{{math|1=''h''(''a'') = ''h''(''b'')}} を満たす。したがって {{mvar|h}} はロルの定理の仮定を満たすから、{{math|''c'' ∈ {{open-open|''a'', ''b''}}}} が存在して {{math|1=''h&prime;''(''c'') = 0}}, すなわち <math display="block">[f(b)-f(a)]g'(c) - [g(b)-g(a)]f'(c) = 0.</math>
}}

== 幾何学的解釈 ==
[[File:Cauchy.svg|thumb|upright=1.4|コーシーの平均値定理の幾何学的意味]]
幾何学的にはコーシーの平均値定理は[[曲線]] <math display="block">\begin{cases}[a,b] \to \mathbf{R}^2\\[5pt]t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}</math> のグラフの[[接線]]で、二点 {{math|(''f''(''a''), ''g''(''a'')), (''f''(''b''), ''g''(''b''))}} を通る直線に[[平行]]なものが存在することを言うものである。ただし、定理は {{math|(''f''(''a''), ''g''(''a'')), (''f''(''b''), ''g''(''b''))}} が相異なる全ての場合についてそのような接線が存在することまでは主張していない。それは {{math|1=''f′''(''c'') = ''g′''(''c'') = 0}} となるいくつかの {{mvar|c}}, つまり考えている[[曲線の特異点|曲線の停留点]]（そのような点では接線が全く存在しないかもしれない）でのみ等式が満足されるかもしれないからである。

そのような状況の例として、曲線 <math display="inline">t\mapsto(t^3,1-t^2)</math> を考えれば、これは閉区間 {{closed-closed|&minus;1, 1}} を点 {{math|(&minus;1, 0)}} から {{math|(1, 0)}} までに写すが、この曲線は水平接線を決して持たない。それはこの曲線が {{math|1=''t'' = 0}} において[[臨界点 (数学)|停留点]]（実は[[尖点]]）を持つことによる。
{{-}}
== 応用 ==
* 特に {{math|1=''g''(''t'') = ''t''}} を考えれば、ラグランジュの平均値定理を得る。
* コーシーの平均値定理は[[ロピタルの定理|ロピタルの法則]]の証明に利用できる。

== 注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{cite book2 |title=Analisi Matematica|last=Soardi|first=Paolo Maurizio|agency=CittàStudi|year=2007|isbn=978-88-251-7319-2|ref={{sfnref|Soardi|2007}}}}

== 関連項目 ==
{{Portal|数学}}
* [[導函数]]
* [[ロルの定理]]
* [[平均値の定理]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=CauchysMean-ValueTheorem|title=Cauchy's Mean-Value Theorem}}
* {{MathWorld|urlname=ExtendedMean-ValueTheorem|title=Extended Mean-Value Theorem}}
* {{PlanetMath|urlnam=ExtendedMeanValueTheorem|title=extended mean-value theorem}}
* {{PlanetMath|urlnam=ProofOfExtendedMeanValueTheorem|title=proof of extended mean-value theorem}}
* {{SpringerEOM|urlname=Cauchy_theorem|title=Cauchy theorem|author= Kudryavtsev, L.D.}}

{{DEFAULTSORT:こおしいのへいきんちていり}}
[[category:微分積分学]]
[[Category:オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:証明を含む記事]]