コーシーの平均値定理

テンプレート:Calculus 微分積分学におけるコーシーの平均値定理（コーシーのへいきんちていり、テンプレート:Lang-en-short）または拡張平均値定理 (extended mean value theorem) はラグランジュの平均値の定理の一般化である。

定理の主張

定理 (Cauchy)

テンプレート:Math を実数値函数で テンプレート:Closed-closed で連続、テンプレート:Open-open で微分可能とするとき、テンプレート:Math が存在して $$[g(b)-g(a)]f^{\prime }(c)=[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c)$$ が成立するテンプレート:Sfn。特に テンプレート:Math かつ テンプレート:Math ならば $$\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$ と書ける。

幾何学的解釈

コーシーの平均値定理の幾何学的意味

幾何学的にはコーシーの平均値定理は曲線 $$\{\begin{array}{c}[a,b]\to {𝐑}^2\\ t\mapsto (f(t),g(t))\end{array}$$ のグラフの接線で、二点 テンプレート:Math を通る直線に平行なものが存在することを言うものである。ただし、定理は テンプレート:Math が相異なる全ての場合についてそのような接線が存在することまでは主張していない。それは テンプレート:Math となるいくつかの テンプレート:Mvar, つまり考えている曲線の停留点（そのような点では接線が全く存在しないかもしれない）でのみ等式が満足されるかもしれないからである。

そのような状況の例として、曲線 $t\mapsto (t^3,1-t^2)$ を考えれば、これは閉区間 テンプレート:Closed-closed を点 テンプレート:Math から テンプレート:Math までに写すが、この曲線は水平接線を決して持たない。それはこの曲線が テンプレート:Math において停留点（実は尖点）を持つことによる。 テンプレート:-

応用

• 特に テンプレート:Math を考えれば、ラグランジュの平均値定理を得る。
• コーシーの平均値定理はロピタルの法則の証明に利用できる。

参考文献

• テンプレート:Cite book2

関連項目

• 導函数
• ロルの定理
• 平均値の定理

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM