ロルの定理

ロルの定理（ロルのていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、解析学における定理である。直観的には、微分可能な実関数が相異なる2点で同じ値を取るとき、その2点間にグラフの傾きが0になるところがあるという定理である。

定理

f (a) = f (b)

すなわち、

f^{'} (c) = 0

を満たすテンプレート:Math が存在する。

この定理は、テンプレート:Mvar の位置を具体的に特定する定理ではなく、また、テンプレート:Mvar は1つとは限らない。条件を満たすテンプレート:Mvar が1個以上存在するということを保証する存在定理である。

ロルの定理は後にラグランジュやコーシーによって示される微分法における平均値の定理の特殊な場合であり、また、平均値の定理などの証明にも使われる基本的な定理である。

12世紀にインドの天文学者バースカラ2世がロルの定理と同じ内容の定理を述べた^[1]。現在知られている形では、1690年にフランスの数学者ミシェル・ロルが著書の『代数学』(Traite d'algebre) で最初に定理を発表し^[2]、1691年に定理の証明を発表した^[3]。「ロルの定理」という名称は、1834年にドイツの数学者テンプレート:仮リンクが最初に使用したものであり、1846年にイタリアの数学者テンプレート:仮リンクも使用した^[4]。

f^{'} (c) = \lim_{h \to 0} \frac{f (c + h) - f (c)}{h}

である。

テンプレート:Math が最大値であることから分子は 0 以下であるので、

f^{'} (c) = \lim_{h \to + 0} \frac{f (c + h) - f (c)}{h} \leq 0

f^{'} (c) = \lim_{h \to - 0} \frac{f (c + h) - f (c)}{h} \geq 0

となる。したがってテンプレート:Math である。

テンプレート:Math であるときも同様にして最小値を取る点テンプレート:Math でテンプレート:Math となることが分かる。

いずれの場合でもテンプレート:Math となるテンプレート:Math が存在することになる。(Q.E.D)